Почему релятивистская формула для импульса не согласуется со столкновениями?

Question

Почему релятивистская формула для импульса не согласуется со столкновениями?

пользователь3723942

Релятивистская формула импульса

п "=" \frac{м в}{\sqrt{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}} .

$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \,.$

В следующем примере я применяю формулу самым простым способом к сложению скоростей. Я рассчитываю импульс до столкновения, $p_{0}$ , а импульс после столкновения $p_{1}$ . Слепо пользуясь этими формулами, я прихожу к выводу, что $p_{0} \neq p_{1}$ . Я подозреваю, что большинство начинающих исследователей специальной теории относительности не смогли бы придраться к этому аргументу; поэтому стоит ответить и представляет широкий интерес для сообщества Stack Exchange.

Рассмотрим два объекта массы $m$ первоначально покоящиеся, которые после некоторого сгорания расходятся друг от друга со скоростью $v$ в положительном $x$ направление и негатив $x$ направление. Перейдите к системе отсчета, которая движется со скоростью $v$ в положительном $x$ направление относительно начального положения блоков в состоянии покоя.

Перед столкновением кажущаяся скорость двух объектов, соединенных в состоянии покоя, равна $-v$ . Поэтому, \

п_{0} "=" - 2 \frac{м в}{\sqrt{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}} .

$p_{0} = -2\frac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \,.$

После столкновения объект движется в положительном $x$ направление кажется стационарным относительно системы отсчета. Применяя формулу сложения скоростей, скорость тела, движущегося в отрицательной $x$ направление есть,

в_{-} "=" \frac{- 2 в}{1 + \frac{в^{2}}{с^{2}}} .

$v_{-} = \frac{-2v}{1 + \dfrac{v^2}{c^2}} \,.$

Следовательно, полный импульс системы равен

п_{1} "=" \frac{м в_{-}}{\sqrt{1 - \frac{в_{-}^{2}}{с^{2}}}} "=" - 2 \frac{м в}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}} .

$p_{1} = \frac{mv_{-}}{\sqrt{1 - \dfrac{v_{-}^2}{c^2}}} = -2\dfrac{mv}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \,.$

Таким образом, ясно, $p_{0} \neq p_{1}$ .

пользователь3723942

Прежде чем закрыть этот вопрос, пожалуйста, четко изложите причину и четко объясните, почему вы считаете это рассуждение неверным.

Кнчжоу

Разрешение состоит в том, что масса покоя

m

$m$ реагентов могут изменяться в релятивистских столкновениях. Например, ваш пример мог бы описывать процесс

μ^{+} μ^{-} \to e^{+} e^{-}

$\mu^+ \mu^- \to e^+ e^-$ в течение которого параметр

m

$m$ в ваших формулах меняется от

m_{μ}

$m_\mu$ к

m_{e}

$m_e$ .

Кнчжоу

Это также намного лучше написанный вопрос, чем ваш предыдущий! Спасибо за улучшение.

пользователь3723942

Хорошо, с электронами все в порядке, но как насчет блоков? В ньютоновской физике мы разделяем идею о том, что два блока могут находиться в состоянии покоя вместе. Затем происходит «взрыв», и они расходятся с равными и противоположными скоростями. Что наивного в этой истории для физика-теоретика?

Кнчжоу

Эта история должна подчиняться закону сохранения энергии, поэтому конечная энергия должна была откуда-то появиться — в данном случае из внутренней энергии объектов перед столкновением. Новая особенность теории относительности заключается в том, что эта энергия, которая все время находилась в объектах, вносит свой вклад в их массу до столкновения через

E = m c^{2}

$E = mc^2$ .

dmckee --- котенок экс-модератор

Действительно, гораздо лучшая постановка вопроса. Я набрал вам уравнения в отдельных строках в обычном наборе (используйте $$ ... $$для набора блоков). а также добавить несколько тегов.

пользователь3723942

Вы, кажется, говорите, что нет способа перейти от двух блоков в состоянии покоя к двум блокам, раздвигающимся без разрушения массы. Разве мы не можем использовать обычное химическое сжигание, при котором масса не разрушается? Неужели никак с пружинами и т.д.?

dmckee --- котенок экс-модератор

В обычных химических взрывчатых веществах масса теряется . Это настолько малая часть, что вам не нужно беспокоиться о ней в большинстве случаев. Но если вы предлагаете придать релятивистские скорости двум массам, вам нужно будет следить за этим.

dmckee --- котенок экс-модератор

Было бы полезно узнать, что один из способов вывести выражение для релятивистского импульса из первых принципов включает расчет поведения скользящего упругого столкновения. Это делает вашу настройку здесь интересной, потому что это неэластичное взаимодействие, но это означает отслеживание того, что происходит с энергией, как говорит @knzhou.

пользователь3723942

Можем ли мы перед взрывом запасти энергию каким-то другим способом, кроме массы? Разве не существуют формы энергии, отличные от массы, например, потенциальная энергия спиральной пружины? Разве мы не можем прикрепить пружину к каждому блоку и сжать две пружины вместе?

Кнчжоу

Да, и сжатая пружина будет иметь большую массу, чем несжатая!

dmckee --- котенок экс-модератор

Обратите внимание, что энергия-импульс составляет четырехвектор, и что масса (с точностью до соответствующих множителей

c

$c$ ) величина этого четырехвектора

(m c^{2})^{2} = E^{2} - (\vec{p} c)^{2}

$(mc^2)^2 = E^2 - (\vec{p}c)^2$ . Энергия без импульса — это масса, и от результата невозможно уклониться.

Федино

Если вы рассматриваете какую-то энергию, действующую помимо двух масс, что в принципе возможно, вы меняете характер проблемы (даже при сохранении масс). В частности, общая энергия вашей системы отличается от той, что связана только с двумя массами (E+2m в опорной раме системы, где E — энергия, запасенная в вашей пружине). Поскольку преобразование импульса на самом деле линейно по энергии и импульсу, в конечном итоге вы смешиваете эти величины.

пользователь3723942

Хорошо, а как насчет двух электронов на расстоянии ангстрема друг от друга. Первоначально в состоянии покоя они удаляются друг от друга за счет электромагнитного отталкивания. Где потерянная масса?

dmckee --- котенок экс-модератор

Два электрона находились в состоянии покоя на расстоянии

r

$r$ друг от друга имеют большую массу, чем

2 m_{e}

$2m_e$ к

k e^{2} / (r c^{2})

$k e^2/ (r c^2)$ (т.е. электрическая потенциальная энергия, деленная на

c^{2}

$c^2$ ). Вы действительно не можете увернуться от дополнительной энергии. Вместо этого вычислите баланс количества движения, если вы включите эту дополнительную массу в начальное состояние.

УиллО

Все содержание этого вопроса присутствовало в предыдущем вопросе. Единственные различия между ними: 1) в более ранней версии ОП привел конкретный пример (с v = 0,6), а здесь он ушел

v

$v$ неопределенные. Это не имеет значения для качества вопроса; на самом деле, более ранняя версия, вероятно, была немного легче для чтения. И 2) На этот раз люди, похоже, потрудились прочитать вопрос, прежде чем проголосовать за его закрытие.

Ответы (1)

Почему релятивистская формула для импульса не согласуется со столкновениями?

Прежде чем закрыть этот вопрос, пожалуйста, четко изложите причину и четко объясните, почему вы считаете это рассуждение неверным.
Разрешение состоит в том, что масса покоя $m$ реагентов могут изменяться в релятивистских столкновениях. Например, ваш пример мог бы описывать процесс $\mu^+ \mu^- \to e^+ e^-$ в течение которого параметр $m$ в ваших формулах меняется от $m_\mu$ к $m_e$ .
Это также намного лучше написанный вопрос, чем ваш предыдущий! Спасибо за улучшение.
Хорошо, с электронами все в порядке, но как насчет блоков? В ньютоновской физике мы разделяем идею о том, что два блока могут находиться в состоянии покоя вместе. Затем происходит «взрыв», и они расходятся с равными и противоположными скоростями. Что наивного в этой истории для физика-теоретика?
Эта история должна подчиняться закону сохранения энергии, поэтому конечная энергия должна была откуда-то появиться — в данном случае из внутренней энергии объектов перед столкновением. Новая особенность теории относительности заключается в том, что эта энергия, которая все время находилась в объектах, вносит свой вклад в их массу до столкновения через $E = mc^2$ .
Действительно, гораздо лучшая постановка вопроса. Я набрал вам уравнения в отдельных строках в обычном наборе (используйте $$ ... $$для набора блоков). а также добавить несколько тегов.
Вы, кажется, говорите, что нет способа перейти от двух блоков в состоянии покоя к двум блокам, раздвигающимся без разрушения массы. Разве мы не можем использовать обычное химическое сжигание, при котором масса не разрушается? Неужели никак с пружинами и т.д.?
В обычных химических взрывчатых веществах масса теряется . Это настолько малая часть, что вам не нужно беспокоиться о ней в большинстве случаев. Но если вы предлагаете придать релятивистские скорости двум массам, вам нужно будет следить за этим.
Было бы полезно узнать, что один из способов вывести выражение для релятивистского импульса из первых принципов включает расчет поведения скользящего упругого столкновения. Это делает вашу настройку здесь интересной, потому что это неэластичное взаимодействие, но это означает отслеживание того, что происходит с энергией, как говорит @knzhou.
Можем ли мы перед взрывом запасти энергию каким-то другим способом, кроме массы? Разве не существуют формы энергии, отличные от массы, например, потенциальная энергия спиральной пружины? Разве мы не можем прикрепить пружину к каждому блоку и сжать две пружины вместе?
Да, и сжатая пружина будет иметь большую массу, чем несжатая!
Обратите внимание, что энергия-импульс составляет четырехвектор, и что масса (с точностью до соответствующих множителей $c$ ) величина этого четырехвектора $(mc^2)^2 = E^2 - (\vec{p}c)^2$ . Энергия без импульса — это масса, и от результата невозможно уклониться.
Если вы рассматриваете какую-то энергию, действующую помимо двух масс, что в принципе возможно, вы меняете характер проблемы (даже при сохранении масс). В частности, общая энергия вашей системы отличается от той, что связана только с двумя массами (E+2m в опорной раме системы, где E — энергия, запасенная в вашей пружине). Поскольку преобразование импульса на самом деле линейно по энергии и импульсу, в конечном итоге вы смешиваете эти величины.
Хорошо, а как насчет двух электронов на расстоянии ангстрема друг от друга. Первоначально в состоянии покоя они удаляются друг от друга за счет электромагнитного отталкивания. Где потерянная масса?
Два электрона находились в состоянии покоя на расстоянии $r$ друг от друга имеют большую массу, чем $2m_e$ к $k e^2/ (r c^2)$ (т.е. электрическая потенциальная энергия, деленная на $c^2$ ). Вы действительно не можете увернуться от дополнительной энергии. Вместо этого вычислите баланс количества движения, если вы включите эту дополнительную массу в начальное состояние.
Все содержание этого вопроса присутствовало в предыдущем вопросе. Единственные различия между ними: 1) в более ранней версии ОП привел конкретный пример (с v = 0,6), а здесь он ушел $v$ неопределенные. Это не имеет значения для качества вопроса; на самом деле, более ранняя версия, вероятно, была немного легче для чтения. И 2) На этот раз люди, похоже, потрудились прочитать вопрос, прежде чем проголосовать за его закрытие.

юпилат13 · Answer 1

Будем считать рамкой, в которой изначально обе массы покоятся, рамкой $O$ . В кадре $O,$ сохранение импульса выполняется тривиально из-за симметрии задачи. Для сохранения энергии мы требуем, чтобы $M = m \sqrt{1-v^2}$ , где $m$ - начальная масса покоя каждой из частиц и $M$ - конечная масса покоя каждой из частиц.

Теперь давайте посмотрим на ситуацию с точки зрения наблюдателя. $O'$ движущийся со скоростью $v$ в положительном $x$ направление. В этой системе начальный импульс равен

п_{я} "=" - \frac{2 м в}{\sqrt{1 - в^{2}}}

$p_i = -\dfrac{2mv}{\sqrt{1-v^2}}$

а конечный импульс равен

п_{ф} "=" \frac{М (\frac{- 2 в}{1 + в^{2}})}{\sqrt{1 - (\frac{- 2 в}{1 + в^{2}})^{2}}} "=" - \frac{2 М в}{1 - в^{2}} "=" - \frac{2 м в}{\sqrt{1 - в^{2}}}

$p_f = \dfrac{M\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)}{\sqrt{1-\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)^2}} = -\dfrac{2Mv}{1-v^2} = -\dfrac{2mv}{\sqrt{1-v^2}}$ если

M = m \sqrt{1 - v^{2}}

$M=m\sqrt{1-v^2}$ , что согласуется с тем, что мы получили из закона сохранения энергии в

O

$O$ .

Для $O'$ , начальная энергия

Е_{я} "=" \frac{2 м}{\sqrt{1 - в^{2}}}

$E_i = \dfrac{2m}{\sqrt{1-v^2}}$

а конечная энергия

Е_{ф} "=" \frac{М}{\sqrt{1 - (\frac{- 2 в}{1 + в^{2}})^{2}}} + М "=" \frac{2 М}{1 - в^{2}} "=" \frac{2 м}{\sqrt{1 - в^{2}}}

$E_f = \dfrac{M}{\sqrt{1-\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)^2}} + M = \dfrac{2M}{1-v^2} = \dfrac{2m}{\sqrt{1-v^2}}$ для

M = m \sqrt{1 - v^{2}}

$M=m\sqrt{1-v^2}$ , что опять-таки согласуется со всеми предыдущими соображениями.

Итак, принимая во внимание изменение массы покоя частиц из-за изменения их структуры при горении (или любом другом процессе, который их ускоряет), мы видим, что в обеих системах могут последовательно соблюдаться как законы сохранения энергии, так и законы сохранения импульса. .

Почему релятивистская формула для импульса не согласуется со столкновениями?

пользователь3723942

пользователь3723942

Кнчжоу

Кнчжоу

пользователь3723942

Кнчжоу

dmckee --- котенок экс-модератор

пользователь3723942

dmckee --- котенок экс-модератор

dmckee --- котенок экс-модератор

пользователь3723942

Кнчжоу

dmckee --- котенок экс-модератор

Федино

пользователь3723942

dmckee --- котенок экс-модератор

УиллО

Ответы (1)

юпилат13

Релятивистская кинематика распада частиц

Физическая интерпретация переменных Мандельштама

Норма векторной суммы двух 4-импульсных векторов до и после образования пар

Как определить внутренние и внешние силы, действующие на систему частиц?

Скрытый импульс

Система центра масс для безмассовых частиц

Почему импульс должен сохраняться в специальной теории относительности?

Как рассчитать частично упругое и частично неупругое столкновение?

Откуда мы вообще узнали, что релятивистский импульс сохраняется?

4-импульс в физике элементарных частиц, столкновение позитрона и электрона