Поиск неизвестной дисперсии для максимизации вероятности с учетом распределения Гаусса

Сдача$Z \sim N(0,1)$и отмечая, что$Z$и$\frac{X-\mu}{\sigma}$равны по распределению, то

$$\begin{align*} P(x_1 \le X \le X_2) &= P \left (\frac{x_1-\mu}{\sigma} \le \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right)\\ &= P \left (\frac{x_1-\mu}{\sigma} \le Z \le \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right)\\ &= \Phi \left ( \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right) - \Phi \left ( \frac{x_1-\mu}{\sigma}\right) \end{align*}$$

где$\Phi$обозначает cdf стандартной нормали, т.е.$\Phi(z) = P(Z \le z)$. Теперь продифференцируем это выражение по$\sigma$и приравняв к нулю, получаем:

$$0 = -\frac{(x_2-\mu)}{\sigma^2} \phi \left ( \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right) +\frac{(x_1-\mu)}{\sigma^2} \phi \left ( \frac{x_1-\mu}{\sigma}\right)$$ где$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-z^2/2}$обозначает PDF стандартной нормали, а$\frac{d}{dz} \Phi(z) = \phi(z)$. Перестановка вышеуказанных выходов $$\begin{align*} &(x_2-\mu) \phi \left ( \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right) =(x_1-\mu) \phi \left ( \frac{x_1-\mu}{\sigma}\right)\\ \implies & (x_2-\mu) \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left \{ -\frac{1}{2 \sigma^2} (x_2-\mu)^2 \right \} =(x_1-\mu) \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left \{ -\frac{1}{2 \sigma^2} (x_1-\mu)^2 \right \}\\ \implies & \frac{x_2-\mu}{x_1 - \mu} = \frac{\exp \left \{ -\frac{1}{2 \sigma^2} (x_1-\mu)^2 \right \}}{ \exp \left \{ -\frac{1}{2 \sigma^2} (x_2-\mu)^2 \right \} }\\ \implies & \frac{x_2-\mu}{x_1 - \mu} = \exp \left \{ -\frac{1}{2 \sigma^2}[ (x_1-\mu)^2 - (x_2-\mu)^2] \right \}\\ \implies & \log \left ( \frac{x_2-\mu}{x_1 - \mu} \right) = -\frac{1}{2 \sigma^2}[ (x_1-\mu)^2 - (x_2-\mu)^2]\\ \implies & \sigma^2 = \frac{- [ (x_1-\mu)^2 - (x_2-\mu)^2]}{ \log \left ( \frac{x_2-\mu}{x_1 - \mu} \right)} \end{align*}$$

и, как отмечено в комментарии, мы должны иметь$\frac{x_2-\mu}{x_1-\mu}>0$для окончательного выражения, которое будет определено