Разница нормальной выборки и выборочной средней

Я столкнулся с проблемой, которая требует вычисления распределения

Икс 1 − Икс ¯
где Икс я , я "=" 1 , ⋯ , н являются выборками из нормальной популяции Н ( α , о 2 ) , и Икс ¯ является выборочным средним.

я думал так Икс 1 − Икс ¯ должен следовать Н ( 0 , н + 1 н о 2 ) , но потом я понял, что Икс 1 и Икс ¯ не являются независимыми, поэтому приведенная выше индукция неверна.

Но я не знаю, как действовать дальше. Любые подсказки приветствуются!

Ответы (1)

Ты можешь написать

Икс 1 − Икс ¯ "=" Икс 1 − Икс 1 + ⋯ + Икс н н "=" ( 1 − 1 н ) Икс 1 − Икс 2 + ⋯ + Икс н н "=" н − 1 н Икс 1 − н − 1 н Икс 2 + ⋯ + Икс н н − 1 .

Первый срок, н − 1 н Икс 1 , постоянное время Икс 1 , так что это нормально со средним н − 1 н α и дисперсия ( н − 1 н ) 2 о 2 .

Второй срок, н − 1 н Икс 2 + ⋯ + Икс н н − 1 , является кратным выборочному среднему Икс 2 , … , Икс н . Среднее значение выборки размера н − 1 имеет среднее значение α и дисперсия о 2 н − 1 , поэтому эта случайная величина н − 1 н Икс 2 + ⋯ + Икс н н − 1 имеет среднее значение н − 1 н α и дисперсия

( н − 1 н ) 2 о 2 н − 1 "=" н − 1 н 2 о 2 .

Теперь два термина, н − 1 н Икс 1 и н − 1 н Икс 2 + ⋯ + Икс н н − 1 , независимы (второй не содержит Икс 1 в сумме), поэтому их сумма также является нормальной случайной величиной со средним значением

н − 1 н α − н − 1 н α "=" 0
и дисперсия
( н − 1 н ) 2 о 2 + н − 1 н 2 о 2 "=" н 2 − н н 2 о 2 "=" н − 1 н о 2 .

Спасибо! Но я думаю, что разница н н − 1 , это правильно?
Дисперсия чего?
последняя строка вашего решения
Дисперсия суммы независимых случайных величин — это сумма дисперсий, а две дисперсии — это то, что я вычислил в предыдущих двух абзацах. Нет ли ошибки в расчетах?
Я так думаю, поскольку ( н − 1 ) 2 + н − 1 "=" н 2 − н .
Ты прав! Я просто избавился от всех негативных знаков, не обращая внимания! Извини! Позвольте мне отредактировать его.
Разница нормальной выборки и выборочной средней
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v