Получение (hklhklhkl) индексов Миллера по углу падения светового луча

Для заданной решетки Браве нужно найти индексы, при которых структурный фактор$S_{hkl}$не исчезает. Для кубических решеток это на самом деле довольно просто (например, для гексагональных может быть уже очень сложно), зная, что NaCl имеет ГЦК-структуру, мы знаем положения атомов в элементарной ячейке:

На$\rightarrow$ $[0,0,0]$,$[1/2,1/2,0]$,$[1/2,0,1/2]$,$[0,1/2,1/2]$и Cl$\rightarrow$ $[1/2,1/2,1/2]$,$[0,0,1/2]$,$[0,1/2,0]$,$[0,0,1/2].$

Далее нам понадобится выражение структурного фактора для ортогональных решеток ($f_i$форм-фактор атома$i,$который содержит информацию о химической идентичности атома):

$$S_{\rm hkl} = \sum_{\rm atom\, i \in unit-cell} f_i \exp[2\pi i(hx_i + ky_i + lz_i)]$$ Теперь просто подставьте атомные координаты одну за другой в $S_{hkl}$и выполните суммирование, которое должно дать вам:

$$S_{hkl} = \left(f_{Na}+f_{Cl}e^{\pi i(h+k+l)}\right) \left(1+e^{\pi i(h+k)}+e^{\pi i(h+l)}+e^{\pi i(k+l)}\right)$$ Почти готово, просто попробуйте несколько примеров $khl$и посмотрите, для каких из них структурный фактор не стремится к нулю (простой процесс из-за упрощенной формы 2-го члена продукта в $S$). Теперь вы можете сами проверить, что для любого набора смешанных индексов (т.е. четных и нечетных индексов вместе) $S \to 0,$например $S_{100}=0.$Затем мы пробуем все четные и все нечетные индексы и находим, что $S$в обоих случаях отличен от нуля. Итак, теперь у вас есть рецепт, как определить, какой $hkl$значения действительны для структуры fcc: $111, 200, 220, 311,...$

Этот тип лечения описан в большинстве основных книг по твердотельному излучению, что определенно побуждает вас читать об этих вещах более формально.