Помогите мне решить проблему теплопроводности/переноса излучения. Математика меня подвела

Question

Помогите мне решить проблему теплопроводности/переноса излучения. Математика меня подвела

RegencyAndCo

Моя проблема: Тонкостенная трубка (длина $L$ , диаметр $D$ и толщина стенки $t \ll D$ ) находится в вакууме. Держится за один конец (в $x=0$ ) источником тепла при постоянной температуре $T(0)=T_0$ . Единственный способ, которым он может рассеивать тепло, — это излучение. Я предполагаю, что излучение происходит только с внешней поверхности трубки. Электропроводность трубки равна $k$ в $[W/mK]$ и коэффициент излучения $\epsilon$ . Что такое профиль равновесной температуры $T(x)$ в трубке? (численное приближение будет делать).

Моя попытка:

В устойчивом состоянии,

{Вопрос}_{я н} "=" {Вопрос}_{о ты т}

$\begin{equation} Q_{in} = Q_{out} \end{equation}$

По закону теплопроводности Фурье тепло, поступающее через концевое сечение, равно

{Вопрос}_{я н} "=" - к \frac{г Т}{г Икс} |_{Икс "=" 0} \times π Д т

$\begin{equation} Q_{in} = -k \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} \times \pi Dt \end{equation}$

Из закона Стефана-Больцмана об излучении черного тела тепло, рассеиваемое через внешнюю поверхность трубки, определяется выражением

{Вопрос}_{о ты т} "=" \int_{0}^{л} ϵ о Т^{4} г Икс \times π Д

$\begin{equation} Q_{out} = \int_0^L \epsilon \sigma T^4 \mathrm{d}x \times \pi D \end{equation}$

Приравнивая эти два, проблема становится

- \frac{к т}{ϵ о} \frac{г Т}{г Икс} |_{Икс "=" 0} "=" \int_{0}^{л} Т^{4} г Икс, Т (0) "=" Т_{0}

$\begin{equation} -\frac{kt}{\epsilon \sigma} \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} = \int_0^L T^4 \mathrm{d}x,\ \ \ T(0) = T_0 \end{equation}$

Попытка решить это в Mathematica безнадежна. Я делаю что-то неправильно? Как найти локальную дифференциальную форму уравнения? Можно еще упростить?

Спасибо за вашу помощь.

Герт

Проблема в том, что вы вообще не построили тепловой баланс. См.: stealthskater.com/Personal/Thesis.pdf , стр. 3. Хотя для удилища его можно довольно легко приспособить для трубки.

RegencyAndCo

Спасибо за ссылку, очень актуально. Но как же я не построил тепловой баланс? Как

Q_{i n} = Q_{o u t}

$Q_{in} = Q_{out}$ не является условием устойчивого состояния?

Кайл Канос

Возможно связано: physics.stackexchange.com/q/151209 и physics.stackexchange.com/q/107761

Ответы (1)

Помогите мне решить проблему теплопроводности/переноса излучения. Математика меня подвела

Проблема в том, что вы вообще не построили тепловой баланс. См.: stealthskater.com/Personal/Thesis.pdf , стр. 3. Хотя для удилища его можно довольно легко приспособить для трубки.
Спасибо за ссылку, очень актуально. Но как же я не построил тепловой баланс? Как $Q_{in} = Q_{out}$ не является условием устойчивого состояния?
Возможно связано: physics.stackexchange.com/q/151209 и physics.stackexchange.com/q/107761

Чет Миллер · Answer 1

Вам нужно сделать дифференциальный тепловой баланс на небольшом отрезке трубы между х и х + $\Delta x$ .

Нагрев при x = $-\pi Dtk\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_x$

Нагрев при x + $\Delta x$ "=" $+\pi Dtk\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_{x+\Delta x}$

Потери тепла за счет излучения = $\pi D\Delta x\epsilon \sigma T^4$

Уравнение теплового баланса:

+ π Д т к {(\frac{\partial Т}{\partial Икс})}_{Икс + Δ Икс} - π Д т к {(\frac{\partial Т}{\partial Икс})}_{Икс} "=" π Д Δ Икс ϵ о Т^{4}

$+\pi Dtk\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_{x+\Delta x}-\pi Dtk\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_x=\pi D\Delta x\epsilon \sigma T^4$

Деление на $\Delta x$ и принимая предел как $\Delta x$ приближается к нулю, дает:

к т \frac{\partial^{2} Т}{\partial {Икс}^{2}} "=" ϵ о Т^{4}

$kt\frac{\partial^2T}{\partial x^2}=\epsilon \sigma T^4$

Что, по сути, просто дифференцирует исходное уравнение и более внимательно относится к знакам?
Точных форм решения этого уравнения, вероятно, не существует, но для физической интуиции это будет эквивалентно движению частицы под действием потенциала $U(x) \propto -x^5$ .
Спасибо @Farcher. Я отредактировал слова «тепло», чтобы читать «тепло в точке x +». $\Delta x$ . Я считаю, что это была единственная проблема со знаком. Я поддерживаю остальные знаки в уравнениях.
@ChesterMiller Я никоим образом не критиковал ваш вывод. Все, что я указывал, это то, что исходный вывод имеет знаковое отличие от вашего.
@MichaelSeifert моя интуиция кажется немного заржавевшей, не могли бы вы объяснить это немного подробнее (как траектория частицы в потенциале U (x) = -ax ^ 5 эквивалентна решению?) Спасибо
@uhoh: Если бы частица двигалась в таком потенциале, то она подчинялась бы уравнению движения $m \ddot{x} = - dU/dx = 5 a x^4$ . Заменять $x \to T$ , $t \to x$ , $kt \to m$ , и $5a \to \epsilon \sigma$ в этом уравнении, и вы получите одно и то же дифференциальное уравнение.
@Farcher Я не вижу никакого несоответствия между знаками в исходном выводе и в моем конечном результате.
@MichaelSeifert не является ли решением проблемы эволюция во времени распределения температуры: T (x, t), которое, как мы надеемся, будет иметь асимтотически постоянную равновесную форму, когда t стремится к бесконечности? Как здесь помогает одиночная частица, быстро ускоряющаяся влево x = f(t)?

Помогите мне решить проблему теплопроводности/переноса излучения. Математика меня подвела

RegencyAndCo

Герт

RegencyAndCo

Кайл Канос

Ответы (1)

Чет Миллер

Фарчер

Майкл Зайферт

Чет Миллер

Фарчер

ооо

Майкл Зайферт

Чет Миллер

ооо

Разные материалы имеют разную температуру?

Температура сферы, нагревающейся на солнце (средняя излучательная способность сферы неизвестна)

Расчет новой температуры объекта при изменении температуры воздуха

С какой скоростью мокрая одежда снижает температуру тела человека?

Изменение энтропии термодинамической среды при изобарических или изохорных процессах

Измерение температуры на расстоянии

Излучение черного тела и тепловое равновесие

Как посчитать, сколько фотонов во Вселенной?

Как измерить температуру крошечной капельки воды?