Связь между гамильтонианом и энергией

Я знаю, что гамильтониан может быть энергией и быть константой движения тогда и только тогда, когда:

  1. Лагранжиан не зависит от времени,
  2. потенциал не зависит от скорости,
  3. координата не зависит от времени.

В противном случае

ЧАС ≠ Е ≠ с о н с т ,
или
ЧАС "=" Е ≠ с о н с т ,
или
ЧАС ≠ Е "=" с о н с т .

Я ищу примеры этих трех ситуаций.

«Гамильтониан», выраженный через неизвестные переменные д и п является гамильтонианом и служит для записи уравнений движения. «Гамильтониан», выраженный через решения д ( т ) и п ( т ) это энергия Е . Энергия не обязана сохраняться. Например, мяч, упруго отскакивающий от неподвижной стены, имеет постоянную энергию, но тот же самый мяч в движущейся системе отсчета (где стена ударяется о неподвижный мяч) приобретает энергию из-за столкновения. В последнем случае движущаяся стенка описывается как зависящий от времени потенциал U ( д , т ) "=" В ( д − в т )
@VladimirKalitvianski Странный ответ, я думаю. Если энергия не сохраняется, будете ли вы продолжать говорить об энергии? Например, в QM проблемы, зависящие от времени, обычно не имеют определенной энергии, я ошибаюсь?
Связано: physics.stackexchange.com/q/11905/2451 и ссылки в нем.
@Oaoa: Да, вы ошибаетесь. В КМ любая измеренная энергия является собственным значением Е н и состояние без определенной энергии имеет эти собственные состояния в суперпозиции или смеси.
@VladimirKalitvianski Хорошо, это просто проблема с терминологией. Я бы не назвал это состояние наличием определенной энергии. Но по сути вы конечно правы :-) Спасибо.

Ответы (1)

Пример. Зависимое от времени гравитационное ускорение ( ЧАС "=" Е но Е ˙ ≠ 0 )

Рассмотрим частицу, падающую под действием силы тяжести вблизи поверхности большой сферически-симметричной планеты. Предположим, что масса планеты изменяется со временем, так что ускорение силы тяжести вблизи поверхности есть некоторая функция г ( т ) времени. Тогда лагранжиан

л ( т , г , г ˙ ) "=" 1 2 м г ˙ 2 − м г ( т ) г
тогда канонический импульс сопряжен с г является
п г "=" ∂ л ∂ г ˙ "=" м г ˙
и гамильтониан
ЧАС "=" п г г ˙ − л "=" п г 2 2 м + м г г
Обратите внимание, что в этом случае ЧАС ( т ) "=" Е ( т ) ; гамильтониан равен полной энергии. Теперь в этом случае уравнения движения имеют вид
п ˙ г ( т ) "=" − м г ( т )
Итак, для любого решения г ( т ) к уравнениям движения имеем
Е ˙ ( т ) "=" п г п ˙ г + м ( г ˙ г + г г ˙ ) "=" п г ( п ˙ г + м г ) + м г ˙ г "=" м г ˙ г ≠ 0
Полная энергия не сохраняется, она изменяется как функция времени из-за того, что гравитационное ускорение зависит от времени.

Сохранение энергии является следствием трансляционной инвариантности во времени. В ситуациях, когда инвариантность к переносу во времени нарушена, например, в примере, предложенном Джошем, энергия не сохраняется. Вы должны понимать, что в принципе энергия всегда сохраняется, но во многих ситуациях нельзя учитывать все факторы, влияющие на энергию (в примере Джоша мы игнорируем, почему масса планеты увеличивается). Энергия и гамильтониан — это одно и то же. В ситуациях, когда нет явной зависимости гамильтониана от времени, энергия сохраняется.
Пример Джоша с физикой вполне реален, если гравитационная сила меняется не из-за изменения массы. м ( т ) , но из-за движущейся планеты: г ( т ) "=" − г ⋅ М / р 2 ( т ) .
может ты пропустил м так что ЧАС "=" п г 2 2 м + м г г ?
Связь между гамильтонианом и энергией
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v