Помогите понять уравнение Бернулли для нестационарных течений

Мои вопросы касаются определений каждого из членов уравнения Бернулли для нестационарных течений, которое представляет собой следующее уравнение (и которое справедливо для всей жидкости):

п + 1 2 р | ты _ | 2 + р г г + р ∂ ф ∂ т "=" ф ( т ) .

Я действительно изо всех сил пытаюсь понять, что представляют собой некоторые из этих терминов, и, следовательно, это влияет на мою способность вычислять каждый из них. По сути, я хочу увидеть, не ошибается ли мое понимание. Это мои вопросы:

и) Давление, п - Во-первых, правильно ли я говорю, что это давление на жидкость в данной точке? Интуитивно я знаю, что Давление = Сила/Площадь, и более формально: г Ф н "=" − п н г С . Значит ли это, что мы хотим рассчитать давление на неподвижную жидкость, содержащуюся в цилиндрической чашке с площадью поперечного сечения А который заполнен до высоты час , это давление будет п "=" р А ( час − г ) г + п а т м где г это высота, на которой мы рассчитываем давление?

ii) | ты _ | - это скорость жидкости в точке, в которой мы хотим применить уравнение Бернулли? Например, если мы медленно сливаем (сверху) воду из цилиндрической чашки, то скорость жидкости на дне чашки равна 0 (поскольку движется только верх)? Если бы также у нас была жидкость, колеблющаяся в U-образной трубке, была бы скорость на дне этой трубки также равна 0 ?

III) р г г - правильно ли я говорю, если мы хотим применить уравнение Бернулли на высоте г "=" 0 , то этот термин просто 0 ?

IV) ∂ ф ∂ т - это потенциал скорости. Допустим, у нас есть жидкость, которая движется только вертикально, и у нас есть ф "=" ф ( г ) г ( т ) , где 0 ≤ г ≤ час . Это правда ∂ ф ∂ т "=" ф ( г ) г ′ ( т ) - или есть г (высота, на которой мы применяем уравнение Бернулли?) функция т ?

Я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь мог прояснить мое понимание?

Другой способ вывести искомое уравнение — записать уравнение для полной кинетической плюс потенциальной энергии жидкости в U-образной трубке. Скорость изменения этой полной энергии должна быть равна нулю, так как жидкость невязкая. Поэтому приравняем производную по времени к нулю. Это даст вам то, что вы хотите. Затем вы можете сравнить результат с приведенным выше выводом почленно.
@ChetMiller хорошо, спасибо, я был бы прав, если бы сказал, что общая кинетическая энергия жидкости в U-образной трубке равна 1 / 2 плотность × объем жидкости × скорость изменения высоты ^ 2, а потенциальная энергия - плотность × объем жидкости × г × (смещенная высота - высота равновесия)?

Ответы (1)

Ограничение задачи о U-образной трубе состоит в том, что сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна.

Кинетическая энергия левой ноги равна

( р А л час л ) 2 ( г час л г т ) 2
а потенциальная энергия левой ноги равна
р г А л час л 2 2
Аналогично для правой ноги.

Другое ограничение

А л час л + А р час р "=" А л час л 0 + А р час р 0
где нижние индексы 0 обозначают начальные высоты.

ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ

На основании разработанных выше выражений сумма кинетической и потенциальной энергии жидкости в U-образной трубке определяется выражением

Е "=" ( р А л час л ) 2 ( г час л г т ) 2 + р г А л час л 2 2 + ( р А л час р ) 2 ( г час р г т ) 2 + р г А л час р 2 2
Если мы возьмем производную по времени от E и приравняем ее к нулю, и воспользуемся ограничением, которое А л г час л г т "=" − А р г час р г т , мы получаем:
(1) р 2 ( г час л г т ) 2 + р час л г 2 час л г т 2 + р г час л "=" р 2 ( г час р г т ) 2 + р час р г 2 час р г т 2 + р г час р
Бернуллиевская форма этого уравнения очевидна. Средний член с каждой стороны уравнения представляет зависящий от времени эффект ускорения.

Высота при равновесии жидкости определяется из условия связи с час л "=" час р "=" ЧАС , где

ЧАС "=" ( А л час л 0 + А р час р 0 ) А л + А р

Условие ограничения всегда будет выполняться в точности, если мы теперь выразим час л и час р с точки зрения H и с точки зрения одного другого параметра дельта следующее:

час л "=" ЧАС + А р ( А л + А р ) дельта
и
час р "=" ЧАС − А л ( А л + А р ) дельта
Если мы подставим эти соотношения в наше ключевое дифференциальное уравнение. 1, мы получаем дифференциальное уравнение в терминах, так что единственный нестационарный параметр дельта :
1 2 ( А р − А л ) ( А р + А л ) ( г дельта г т ) 2 + ЧАС г 2 дельта г т 2 + ( А р − А л ) ( А р + А л ) дельта г 2 дельта г т 2 + г дельта "=" 0
Если площади двух поперечных сечений равны, это сводится к
ЧАС г 2 дельта г т 2 + г дельта "=" 0
имеющее очевидное аналитическое решение.

Еще раз спасибо. Я просто хочу проверить, час л равно ЧАС + с л ( т ) где ЧАС - высота в равновесии жидкости и с л ( т ) вытеснение жидкости в левую сторону? А значит, верно ли, что давление с левой стороны на произвольной высоте г в жидкости равно р г ( ЧАС + с л − г ) (+ атмосферное давление) и потенциал скорости на произвольной высоте г в левой части равно г г с л г т ?
За точку отсчета потенциальной энергии я взял основание U-образной трубки. Я возьму производную от потенциальной энергии и приравняю ее к нулю, и вы увидите, что у меня получится, чтобы мы могли лучше сравнить. Быть позже.
Ваш вывод о давлении неверный. Это верно только в том случае, если ускорение жидкости равно нулю. Я решил остальную часть проблемы, но у меня нет времени, чтобы написать это сейчас. Быть позже.
Смотрите мое продолжение решения.
Я удивлен, что вы не прокомментировали мой анализ. У вас есть какие-либо вопросы по этому поводу?
Извините за поздний ответ, спасибо за вашу подробную помощь. Мой единственный вопрос был бы в отношении уравнения ( 1 ) - так это эквивалентная форма нестационарного уравнения Бернулли с 1-м, 2-м и 3-м членами 1 2 р | ты | 2 , р ∂ ф ∂ т и р г г соответственно? Нет ли термина статического давления, п , потому что давления с обеих сторон равны?
Ответы на ваши вопросы да и да. Я просто считаю, что таким образом легче вывести уравнение, когда речь идет о переходном поведении.
Помогите понять уравнение Бернулли для нестационарных течений
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v