Бесконечная потенциальная энергия ямы для кусочно-постоянной волновой функции

Question

Бесконечная потенциальная энергия ямы для кусочно-постоянной волновой функции

ДэнПуцуоли

Я пытаюсь вычислить математическое ожидание энергии для определенного состояния в бесконечной потенциальной яме , но получаю противоречивые ответы.

У скважины есть потенциал

\begin{aligned} В (Икс) "=" {\begin{array}{lr} 0 & : 0 < Икс < л \\ \infty & : в другом месте \end{array} \end{aligned}

$\begin{align} V(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 0 & : 0 < x < L\\ \infty & : \text{ elsewhere} \end{array} \right. \end{align}$ который имеет собственные состояния

ϕ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n π x}{L})

$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{n \pi x}{L})$ с соответствующими энергиями

E_{n} = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}

$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$ .

Теперь рассмотрим состояние

\begin{aligned} ψ (Икс) "=" {\begin{array}{lr} 0 & : 0 < Икс < л / 2 \\ \sqrt{\frac{2}{л}} & : л / 2 \leq Икс < л \\ 0 & : в другом месте \end{array} \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 0 & : 0 < x < L/2\\ \sqrt{\frac{2}{L}} & : L/2 \leq x < L\\ 0 &: \text{ elsewhere} \end{array} \right. \end{align}$ Мы хотим вычислить

⟨ H ⟩

$\langle H \rangle$ для этого состояния. Один из способов сделать это — просто использовать определение:

⟨ H ⟩ = \int_{0}^{L} ψ^{*} (x) H ψ (x) d x

$\langle H \rangle = \int_{0}^L \psi^*(x) H \psi(x) dx$ . Проблема с этим заключается в том, что

ψ (x)

$\psi(x)$ кусочно-постоянна, и поэтому это даст вам

0

$0$ . Другой вариант — расширить

ψ

$\psi$ в терминах собственного базиса энергии путем вычисления коэффициентов

c_{n} = ⟨ ϕ_{n} | ψ ⟩

$c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle$ , и получение

⟨ H ⟩ = \sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} |^{2} E_{n}

$\langle H \rangle = \sum_{n=1}^\infty | c_n |^2 E_n$ . Как

E_{n} > 0

$E_n > 0$ для каждого

n

$n$ , эта величина будет строго больше, чем

0

$0$ и поэтому будет отличаться от предыдущего ответа.

В чем несоответствие? Это, безусловно, связано с разрывом в $x = L/2$ , но я не могу понять, как с этим бороться.

Эмилио Писанти

Обратите внимание, что ваша кусочно-постоянная

ψ (x)

$\psi(x)$ не является непрерывным и, следовательно, не является физически доступной волновой функцией. Попробуйте повторить расчет, используя

C^{1}

$C^1$ функции, которые сходятся к

ψ

$\psi$ и вы получите неограниченно возрастающие вклады от «клея» в 0 и L.

Эмилио Писанти

В более общем смысле представление разрывных функций с помощью рядов Фурье является нетривиальным делом и приводит к явлению Гиббса .

Ответы (1)

Бесконечная потенциальная энергия ямы для кусочно-постоянной волновой функции

Обратите внимание, что ваша кусочно-постоянная $\psi(x)$ не является непрерывным и, следовательно, не является физически доступной волновой функцией. Попробуйте повторить расчет, используя $C^1$ функции, которые сходятся к $\psi$ и вы получите неограниченно возрастающие вклады от «клея» в 0 и L.
В более общем смысле представление разрывных функций с помощью рядов Фурье является нетривиальным делом и приводит к явлению Гиббса .

Qмеханик · Answer 1

Ожидаемое значение

\begin{matrix} (1) & ⟨ ψ | В | ψ ⟩ "=" 0 \end{matrix}

$\tag{1} \langle \psi | V| \psi \rangle~=~0$

оператора потенциальной энергии $V$ действительно равно нулю, но математическое ожидание

\begin{matrix} (2) & ⟨ ψ | К | ψ ⟩ "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м} \int_{р} г Икс | ψ^{'} (Икс) |^{2} "=" + \infty \end{matrix}

$\tag{2} \langle \psi |K| \psi \rangle~=\frac{\hbar^2}{2m} \int_{\mathbb{R}}\!dx~ |\psi^{\prime}(x)|^2 ~=~+\infty$

оператора кинетической энергии $K$ на самом деле бесконечен для волновой функции

\begin{matrix} (3) & ψ (Икс) "=" \sqrt{\frac{2}{л}} (θ (Икс - \frac{л}{2}) - θ (Икс - л)), Икс е р . \end{matrix}

$\tag{3} \psi(x)~=~ \sqrt{\frac{2}{L}}\left(\theta(x-\frac{L}{2}) -\theta(x-L)\right), \qquad x\in \mathbb{R}.$

Здесь $\theta$ — ступенчатая функция Хевисайда .

Оператор кинетической энергии $K:=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}$ является примером неограниченного оператора , который имеет смысл только в своей области определения. ${\cal D}_K\subsetneq {\cal H}$ внутри гильбертова пространства ${\cal H}:=L^{2}(\mathbb{R})$ функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу. В частности, нетривиальной математической проблемой является применение дифференциального оператора $K$ к недифференцируемой волновой функции (3).

Бесконечный результат (2) можно увидеть (на физическом уровне строгости) по крайней мере тремя способами (сначала упорядоченные с простейшим вычислением):

Вставьте пошаговую функцию Хевисайда в уравнение. (2) получить интеграл по квадрату пары дельта-функций Дирака, расположенных в $x=\frac{L}{2}$ и $x=L$ . Это, строго говоря, математически плохо определено. Физически имеет смысл присвоить интегралу бесконечное значение, ср. этот пост Phys.SE.
Рассчитать перекрытия $c_n=\langle \phi_n | \psi \rangle$ , и показать, чем сумма

$\begin{matrix} (4) & ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} | с_{н} |^{2} Е_{н} "=" + \infty \end{matrix}$ $\tag{4} \langle \psi |H| \psi \rangle=\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 E_n ~=~+\infty$ расходится. Этот бесконечный вывод кажется физически устойчивым, поскольку все члены ряда (4) неотрицательны.
По регуляризации , как предлагает Эмилио Писанти в комментарии. Задайте регуляризованную волновую функцию $\psi_{\varepsilon} \in C^1(\mathbb{R})$ таким образом, что (i) он сходится $\psi_{\varepsilon}\to \psi$ для $\varepsilon\to 0^{+}$ , (ii) ожидаемое значение $\langle \psi_{\varepsilon} |K| \psi_{\varepsilon} \rangle$ легко вычисляется и конечен для $\varepsilon>0$ . Покажи то $\langle \psi_{\varepsilon} |K|\psi_{\varepsilon} \rangle\to +\infty$ расходится для $\varepsilon\to 0^{+}$ .

Спасибо, моя проблема с подходом (1), как вы говорите, не имеет для меня математического смысла. Я имел в виду интегралы Лебега, где $\psi'$ является $0$ почти всюду и поэтому его интеграл (или интеграл от его квадрата) равен $0$ (что-то не так с этим мыслительным процессом?). Подход (2) является наиболее прямым (на мой взгляд), так как его можно выполнить методом грубой силы.
Это требование непрерывной дифференцируемости физических волновых функций сбивает меня с толку. Это может быть просто мое непонимание бесконечномерной КМ, но возьмите любую одномерную волновую функцию. $\psi$ (сделайте так, как вам нравится) и выберите $x^*$ так что $\psi(x^*) \neq 0$ . Теперь измерьте, находится ли частица слева или справа от $x^*$ . Предположим, вы нашли частицу справа от $x^*$ , какое состояние после измерения? Привыкнув к конечному размеру, я предполагаю, что вы «проектируете $\psi$ ' (набор $psi(x) = 0$ для $x < x^*$ ) и нормализовать. Эта функция не будет непрерывной, но я не вижу проблемы.
Проблема в том, что волновая функция $\psi$ вообще должен принадлежать домену ${\cal D}_A$ самосопряженного оператора $A$ если кто-то хочет измерить ожидаемое значение $\langle \psi |A| \psi \rangle$ .

Бесконечная потенциальная энергия ямы для кусочно-постоянной волновой функции

ДэнПуцуоли

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Qмеханик

ДэнПуцуоли

ДэнПуцуоли

Qмеханик

Частица бесконечной ямы, подверженная дополнительной временной зависимости. потенциал

Потенциал тройной дельты в квантовой механике

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты