Частица бесконечной ямы, подверженная дополнительной временной зависимости. потенциал

Ну, без дельта-потенциала волновая функция

$$\tag{1} \psi_0(x,t)~=~\exp\left[ -\frac{iE_1 t}{\hbar}\right] \phi(x) ,$$

где

$$\tag{2} \phi(x)~:=~\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{\pi x}{L}, \qquad E_1~:=~ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2}.$$

Далее мы должны включить «полный» эффект дельта-функции.$\delta(t)$(в отличие от «половины» эффекта, если мы ошибочно решили начать с$t=0$). Другими словами, мы знаем, что (1) верно только для строго отрицательных моментов времени.$t<0$. Если$\epsilon>0$обозначает бесконечно малую положительную величину, тогда

$$\tag{3} \psi(x,-\epsilon)~=~ \phi(x).$$

Поэтому

$$\tag{4} \psi(x,t)~=~T\exp\left[ -\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\!dt^{\prime}\hat{H}(t^{\prime}) \right]\psi_0(x,t_0)$$

для$t_0<0$, где$T$обозначает временной порядок. Однако не так просто работать непосредственно в терминах уравнения. (4). Легче интегрировать уравнение Шредингера из$t=-\epsilon$к$t=\epsilon$, как предлагает ОП:

$$\tag{5} i\hbar(\psi(x,\epsilon)-\psi(x,-\epsilon))~=~\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\!dt^{\prime} \hat{H}(t^{\prime})\psi(x,t^{\prime})~=~\frac{\pi\hbar x}{L}\psi(x,0).$$

Таким образом, волновая функция имеет разрыв в$t=0$. Далее мы предполагаем, что значение в$t=0$является средним значением пределов справа и слева:

$$\tag{6} \psi(x,0)~=~\frac{\psi(x,\epsilon)+\psi(x,-\epsilon)}{2}.$$

Из ур. (3), (5) и (6), мы заключаем, что

$$\tag{7} \psi(x,\epsilon) ~=~\frac{1-\frac{i\pi x}{2L}}{1+\frac{i\pi x}{2L}}\phi(x) .$$

Осталось найти волновую функцию$\psi(x,t)$для конечных$t>0$. Мы оставляем это OP.

Вы можете попробовать применить преобразование Лапласа или Фурье к уравнению Шрёдингера во времени. Тогда вы получите то, что фактически является уравнением собственных функций, например$\hat{H} \Psi = E \Psi$, но с частотами (т.е. фактической "энергией")$\omega$определяется граничными условиями на$\Psi$. Учитывая, что вы знаете начальное условие, я бы сказал, что вам следует использовать преобразование Лапласа, поскольку это даст вам временную зависимость нового состояния.

Что касается того, как обрабатывать дельта-функцию в нуле, подумайте об этом так:

$$\begin{equation} F(0) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(x) F(x) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{0} \delta(x) F(x) + \int_{0}^{\epsilon} \delta(x) F(x) \end{equation}$$ и $\delta(x)$считается четной функцией, поэтому $\delta(-x) = \delta(x)$. Таким образом, обычное правило состоит в том, чтобы взять интеграл по «половине» дельта-функции как половину значения функции в этой точке.