вступление

Я думаю, что ваш вопрос немного ошибочен, потому что вы пытаетесь провести прямую ось, вдоль которой будет измеряться время. Вместо времени, измеряемого любым наблюдателем, единственное время, которое имеет значение для этого наблюдателя в большинстве случаев, - это собственное время. Чтобы измерить собственное время, вам нужно измерить длину дуги кривой, то есть мировой линии наблюдателя. Как только вы поймете, что вам больше не нужно рисовать десятки пунктирных линий. Диаграммы пространства-времени, конечно, по-прежнему будут полезны.

Итак, я отвечу на ваш вопрос очень быстро, представив собственное время и то, как оно связано с длиной дуги. Затем я разрешим парадокс близнецов, показав, что если два близнеца ($A$и$B$) встречаются на одном событии, затем разделяются, затем снова встречаются, близнец, который не ускорялся, будет измерять наибольший промежуток времени (будет старше).

Мировая линия

Положение любого точечного объекта в четырехмерном пространстве-времени можно определить как$x^\mu=\left(ct, \mathbf{r}\right)^\mu=\left(ct,x,y,z\right)$. Здесь я всегда буду использовать декартовы координаты. Это положение, присвоенное объекту некоторым инерциальным (лабораторным) наблюдателем.

Мы склонны обсуждать объекты, которые не исчезают внезапно, поэтому вместо одной позиции все объекты будут иметь мировую линию , непрерывную линию, которая показывает положение объекта в любое время. Вы нарисовали какие-то мировые линии в своих набросках.

Поскольку мировая линия действительно является линией, ее можно параметризовать одним (действительным) числом. Одним из возможных способов параметризации мировой линии является лабораторное время, т.е.

$$x^\mu\left(t\right)=\left(ct,\,\mathbf{r}\left(t\right)\right)^\mu$$

Это легко и часто необходимо, чтобы связать математику с наблюдаемыми явлениями, но такое описание теоретически неудобно, поскольку ваше время может отличаться от моего, если мы движемся относительно друг друга.

Другой подход заключается в привязке параметризации к длине дуги кривой. Представьте, что есть два события:

$$\begin{align} x^\mu_1&=\left(ct,\mathbf{r}\right)^\mu \\ x^\mu_2&=\left(ct+c\delta t,\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}\right)^\mu \end{align}$$

которые находятся близко друг к другу. Я был бы рад, если бы меня здесь поправили, но, насколько я понимаю, определение «близко» здесь будет основываться на$\mathbb{R}^4$топология пространства-времени .

Далее мы можем вычислить следующую величину:

$$ds = \sqrt{c^2 \left(\delta t\right)^2 - \left(\delta\mathbf{r}.\delta\mathbf{r}\right)}$$

что было бы инвариантным «расстоянием» между$x^\mu_1$и$x^\mu_2$. Инвариантно, потому что все инерциальные наблюдатели согласны с этим расстоянием. Здесь для простоты мы ограничимся мировыми линиями объектов, движущихся с подсознательной скоростью. Это означало бы, что для всех близко расположенных событий на мировой линии объекта$ds>0$.

Затем мы можем определить некоторую точку на мировой линии,$x_0^\mu$бить$s=0$, и найти инвариантное расстояние от этой точки до любой другой точки,$x^\mu_1$, на мировой линии, путем интеграции:

$$s_1 = \int_{x_0}^{x_1} ds = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{c^2 \left(d t\right)^2 - \left(\delta\mathbf{r}.\delta\mathbf{r}\right)}$$

Не беспокойтесь о вычислении интеграла, достаточно понять, что это возможно. Прелесть этого подхода в том, что любые два наблюдателя согласятся, что «расстояние» от$x_0^\mu$к$x_1^\mu$вдоль кривой, как указано выше, которую я буду называть длиной дуги, равной$s_1$.

Итак, теперь мы можем просто параметризовать все точки на кривой с помощью этой длины дуги.

$$x^\mu\left(s\right)=\left(ct\left(s\right),\,\mathbf{r}\left(s\right)\right)^\mu$$

Подходящее время

Теперь представьте себе наблюдателя, сидящего в какой-нибудь ракете или что-то в этом роде и держащегося за часы. Независимо от того, является ли наблюдатель (и часы) инерциальным или ускоряющимся, всегда можно представить себе инерциальную систему отсчета, в которой наблюдатель мгновенно находится в состоянии покоя (и в следующую секунду наблюдатель может уже не находиться в состоянии покоя в этой системе отсчета). Назовем это системой мгновенного покоя (помню, что она также называлась тангенциальной системой покоя). В этом мгновенном состоянии покоя,$\bar{S}$мировая линия часов будет

$$\bar{x}^\mu\left(s\right)=\left(c\bar{t}\left(s\right),\mathbf{0}\right)^\mu$$

Конечно, это справедливо только для времени, когда часы остаются почти в покое в$\bar{S}$. Рассмотрим длину дуги между двумя близко расположенными событиями.$\bar{x}^\mu\left(s\right)$и$\bar{x}^\mu\left(s+\delta s\right)=\bar{x}^\mu\left(s\right)+\left(c\delta\bar{t},\mathbf{0}\right)^\mu$. Здесь$\delta \bar{t}$разница во времени, которую можно было бы измерить часами наблюдателя (то же самое, что и время в$\bar{S}$так как часы мгновенно останавливаются в$\bar{S}$). По определению длины дуги это:

$$\delta s=\sqrt{c^2\left(\delta\bar{t}\right)^2}=c\delta\bar{t}$$

Со скоростью света,$c$, постоянна, можно видеть, что часы наблюдателя измеряют длину дуги в «световых годах» (т.е. умножьте время наблюдателя на скорость света, чтобы получить длину дуги). Основываясь на этом понимании, мы определяем правильное время$\tau=s/c$. Это время, измеряемое наблюдателем, который движется вдоль некоторой мировой линии, но это также и длина дуги этой мировой линии, измеренная в единицах времени. Следовательно, мы можем параметризовать любую мировую линию по ее собственному времени:

$$x^\mu\left(\tau\right)=\left(ct\left(\tau\right),\,\mathbf{r}\left(\tau\right)\right)^\mu$$

Изогнутые мировые линии и парадокс близнецов

Представим два события$x_1^\mu$и$x_2^\mu$и предположим, что можно получить из$x_1^\mu$к$x_2^\mu$на субсветовой скорости. Давайте представим два пути между этими двумя точками. Один путь - это путь объекта$A$что не ускоряется, другой объект$B$то ускоряется, то замедляется (иначе не встретится с$A$). Первая мировая линия будет прямой, вторая — изогнутой (я не буду здесь далее объяснять кривизну линии, так как ее можно избежать).

Предположим, что часы$A$и$B$синхронизированы в$x_1^\mu$($\tau_A=\tau_B=0$в$x_1^\mu$).

Можно показать, что собственное время, измеряемое$A$в точку$x_2^\mu$, т.е.$\tau_{A@2}$будет максимально длинной для всех мировых линий, проходящих через оба$x_1^\mu$и$x_2^\mu$и времениподобны во всех точках (т. е. только на субсветовых скоростях движения)

Как? Рассмотрим мировую линию наблюдателя$A$в своем собственном фрейме покоя ($S'$):

$${x'}_A^\mu \left(t'\right) ={x'_1}^\mu + \left(ct',\mathbf{0}\right)^\mu$$

Где$t'=\tau_A$($A$кадр покоя). Поэтому${x'_2}^\mu=\left(c\tau_{A@2},\mathbf{0}\right)^\mu$. Что такое мировая линия$B$в$S'$? Допустим, что скорость$B$, как видно$A$является$\mathbf{v}_B=\mathbf{v}\left(t'\right)=d\mathbf{r}_B/dt'$, а его положение$\mathbf{r}_B$, поэтому$B$-s мировая линия:

$${x'}_B^\mu \left(t'\right) ={x'_1}^\mu + \left(ct',\mathbf{r}_B\left(t'\right)\right)^\mu,\quad \mathbf{r}_B\left(0\right)=\mathbf{r}_B\left(\tau_{A@2}\right)=\mathbf{0}$$

Какова длина дуги$B$?

$$c\tau_{B@2}=\int_{0}^{\tau_{A@2}} \sqrt{c^2 \left(dt'\right)^2-\left(d\mathbf{r}_B\right)^2}=\int_{0}^{\tau_{A@2}} dt'\,\sqrt{c^2 -\left(\mathbf{v}_B\right)^2}$$

Теперь вы должны увидеть, что любая ненулевая скорость$\mathbf{v}_B$по пути$B$приведет к сокращению$\tau_{B@2}$, поэтому, если$B$находится в покое относительно$A$, время$\tau_{B@2}$будет меньше, чем у$\tau_{A@2}$когда они встретятся снова.

Вот и разрешился парадокс близнецов.$x_1$когда двое близнецов встречаются впервые,$x_2$когда они снова встречаются и сравнивают часы.

Приложение

Кажется, есть много вопросов об «ускоренных системах отсчета». Я постараюсь исправить это, но рад, что меня поправят. Надлежащая ссылка на это — глава 6 «Ускоренные наблюдатели» из Misner, Thorne, Wheeler Gravitation (первая часть книги посвящена специальной теории относительности).

Так что же мы подразумеваем под системой отсчета? Казалось бы, определение Вики подходит:

Репер в точке x ∈ X является упорядоченным базисом векторного пространства Ex

ключом здесь является эта основа векторов. Допустим, у вас есть объект, который движется с некоторой, возможно, непостоянной скоростью относительно лабораторного кадра. Мировая линия это$x^\mu=x^\mu\left(\tau\right)$, где$\tau$самое подходящее время. Рассмотрим какой-то момент$x^\mu_1=x^\mu\left(\tau_1\right)$. В этой точке вы всегда можете определить касательную к мировой линии,$u_1^\mu=\left(dx^\mu/d\tau\right)_{@\tau_1}$. Это известно как четыре скорости, но название не имеет значения. Когда у вас есть четырехмерная скорость, вы можете найти еще три вектора, которые перпендикулярны ей, и эту тетраду базисных векторов назовем их$\hat{\tau}^\mu=u^\mu/c,\,\hat{x}^\mu,\,\hat{y}^\mu,\,\hat{z}^\mu$позволит вам выразить любой вектор в этой точке$x^\mu_1$. Далее вы можете попытаться нарисовать четыре набора прямых линий, параллельных вашим базисным векторам, чтобы получить что-то вроде белой сетки на картинке ниже, но в формате 4d.

Это хорошо, но вы должны помнить, что вы создали эту сетку из одной касательной в определенной точке . Получится ли такая же сетка, если использовать касательную к мировой линии в какой-либо другой точке? Для инерциальных наблюдателей да - их мировые линии прямые. Для ускоренных наблюдателей вы не подойдете — их мировые линии искривлены . Возвращаясь к определению системы отсчета, для ускоренных наблюдателей разные точки на мировой линии имеют разные системы отсчета, т.е. разные базисные векторы.

Вы можете притвориться, что изогнутая линия на самом деле прямая, но только если вы ограничите свой интерес областью, где кривизна мировой линии слишком мала, чтобы ее можно было заметить. В этом смысле можно говорить о системе покоя для ускоряющегося наблюдателя, но она локальна .

Другой подход состоит в том, чтобы иметь глобальную систему отсчета, но ваш ускоряющийся наблюдатель будет находиться в состоянии покоя в этой системе только в течение короткого периода времени. Это будет мгновенный кадр покоя. Я предпочитаю второй подход.

Как бы выглядела та же диаграмма пространства-времени, если бы путешествующий близнец разгонялся еще дальше от Земли? Я считаю, что линии одновременности, вместо того, чтобы быть более разнесенными (как в исходном случае), будут еще ближе друг к другу, более или менее как на рисунке ниже:

Что ж, ответ прост: чем больше мировая линия наклонена вправо, тем больше линия одновременности наклонена вверх. Я вижу, что происходит на вашей картинке, так что это правильно.

Поскольку ваш рисунок верен, путешествующий наблюдатель воспринимает часы другого наблюдателя как более медленные во время ускорения (на это указывают линии одновременности). Это зависит от направления ускорения.

Низкие часы идут медленно. Какие часы внутри тела, ускоряющегося с ускорением, идут быстрее всего? Я имею в виду, что в ускоряющейся системе отсчета низкие часы медленны.

Не путайте изменение плоскости одновременности с замедлением времени: они разные.

Преобразование Лоренца из космического корабля обратно на Землю выглядит так:

$$t = \gamma(t' + \frac{vx'}{c^2})$$

Замедление времени это:

$$\frac{dt}{dt'} = \gamma$$

и зависит только от относительной скорости.

План одновременности не зависит от$\gamma$, и определяется:

$$c^2t' + vx' = {\rm const.}$$

Если поворот происходит одновременно:

$$t = \frac L v$$

на Земле, затем до/после разворота «сейчас» ракеты-близнеца обратно на Землю (в кадре Земли) происходит от:

$$\frac L v - \frac{v(v\frac L v)}{c^2}= \frac L v(1-\beta^2)= \frac L v \frac 1{\gamma^2}$$

к

$$\frac L v - \frac{-v(v\frac L v)}{c^2}= \frac L v(1+\beta^2)= \frac L v(2-\frac 1{\gamma^2})$$

что именно объясняет «пропавшее время», по словам близнеца, путешествующего в космосе.

Это было для мгновенного ускорения, которое приводит к внезапному изменению плоскости одновременности. Если вы вытащите его из периода$\delta t$с ускорением$a$, вы можете сделать так, чтобы это выглядело как псевдогравитационное замедление времени; не позволяйте этому обмануть вас. Это не замедление времени, это изменение смещения часов из-за изменения гиперплоскости одновременности.

Основная причина в том, что, когда близнец ракеты находится далеко от Земли, нет единого способа определить «сейчас» на Земле; на фиксированном расстоянии,$L$, зависит от локальной скорости наблюдателя и может изменяться на$t_0\pm L/c$где$t_0$это время в системе покоя Земли.

Все, что вам действительно нужно знать, чтобы понять парадокс близнецов, это то, что часы (включая биологические часы) измеряют длину своих мировых линий, и разные мировые линии, которые начинаются и заканчиваются в одних и тех же событиях (точках пространства-времени), могут иметь разную длину, если они совпадают. разные формы.

Рисование плоскостей одновременности не поможет в решении проблем парадокса близнецов. На евклидовой плоскости, если вы едете из точки A в B на двух машинах по двум разным маршрутам, счетчики пробега могут показывать разное общее расстояние в конце. Вы можете нарисовать плоскости, перпендикулярные траектории каждой машины, и посмотреть, где они пересекаются с траекторией другой машины. Когда один автомобиль делает поворот, перпендикуляр поворачивается на тот же угол и может охватывать большую часть пути другого автомобиля, и можно сказать, что счетчик пробега другого автомобиля изменяется на эту длину «во время поворота». Если вы будете осторожны, вы даже получите правильные показания счетчика пути в конце, потому что евклидова геометрия внутренне непротиворечива. Но вы ничему из этого не научитесь. Это просто неправда, что на другой машине есть правильная точка совпадения. s след, который вы можете найти по этому или любому другому геометрическому построению. Две машины просто поехали разными путями, конец истории.

Если вы действительно хотите нарисовать эти перпендикуляры на диаграммах пространства-времени, вы можете использовать тот факт, что если ваша мировая линия имеет наклон$m$тогда перпендикулярная плоскость одновременности имеет наклон$1/m$. Это похоже на евклидову геометрию (где перпендикулярный наклон$-1/m$), но со знаком флип, как это часто бывает с этими вещами.