Понимание теплопроводности фононами с использованием фононной волновой функции?

Короткий ответ, да, но это не дает вам теплопроводности напрямую.

Вы можете записать динамический гамильтониан решетки как сумму потенциальной и кинетической энергий атомов в системе:

$$H =\sum_i\frac{p_i^2}{2m_i} + U$$

Мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы написать уравнения движения:

$$m_i\ddot{\mathbf{u}}_i(t) = -\sum_{i'}\phi_{ii'}\mathbf{u}_i(t),$$

где$\mathbf{u}$это смещение атома$i$от равновесия и$\phi$– матрица межатомных силовых констант второго порядка . Они имеют плоские волновые решения вида

$$\mathbf{u}_i(t) = \sum_{\mathbf{k},\nu}U(i,\mathbf{k},\nu)\exp{i[\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_i-\omega(\mathbf{k},\nu)t]}$$

Где$U$– амплитуда коллективных движений. Это можно преобразовать в виде набора линейных уравнений:

$$m\omega^2(\mathbf{k},\nu)\mathbf{e}(i,\mathbf{k},\nu) = \mathbf{D}(\mathbf{k})\mathbf{e}(\mathbf{k},\nu),$$

где$\mathbf{D}$— динамическая матрица, преобразование Фурье$\phi$. Вывод можно найти в любом учебнике по динамике решетки.

Проблема в том, что решение аналитическое только в гармоническом приближении, следовательно, матрица силовых постоянных второго порядка . По существу предполагается, что потенциальная энергия равновесной конфигурации атомов локально гармонична, что вообще справедливо при низких температурах (или при малых смещениях атомов). В гармоническом приближении времена жизни фононов бесконечны, поэтому в твердом теле нет рассеяния тепла, и вы должны расширить потенциальную энергию до более высоких порядков, после чего решение уже не будет хорошим и аналитическим. По сути, вам нужно решить уравнение фонона-Больцмана, которое позволит вам восстановить времена жизни фононов, а для этого требуются, как минимум, межатомные силовые константы третьего порядка.