Почему звуковые волны связаны с модами, подчиняющимися закону линейной дисперсии?

Обновить для уточнения Закон дисперсии для одномерной цепочки атомов, каждый из которых имеет массу м и скреплены друг с другом одинаковыми пружинами постоянной силы К (который для сплошной среды станет модулем объемного сжатия, представляющим ее упругое свойство) определяется выражением

(1) ю ( к ) "=" 2 К м | грех ⁡ ( к а 2 ) | .
Здесь а обозначает равновесное расстояние между атомами.

Отметим, что дисперсионное соотношение (1) не является линейным. Для длинноволновых мод уравнение (1) принимает вид

(2) ю "=" К м ( | к | а ) ,
и это стандартный прием, чтобы считать скорость звука из (2), используя формулу с с "=" ю / к . Для справки см. Ashcroft and Mermin, Eq. 22.29 и 22.31.

Вопросы

∙ Означает ли это, что моды малых длин волн, удовлетворяющие уравнению (1), но не удовлетворяющие уравнению (2), не могут быть носителями звуковой волны?

∙ Почему вместо линеаризации (1) вычислить групповую скорость г ю г к и приписать это скорости звука?

Так что, возможно, вы можете кратко пояснить, как вы видите, как константа пружины К и масса м может войти в физику звуковой волны?
Очень хотелось бы узнать причину минусов.
Я не тот, кто проголосовал против, поэтому я не могу ответить, но ваш вопрос трудно понять: для цепочки атомов 1d волна будет поперечной, но звук продольный, поэтому две ситуации не очень совпадают, и мой оригинальный комментарий стоит: как именно вы видите связь между атомами, соединенными пружинами и звуковыми волнами?
Я только что понял, что я неправильно думал о вашей цепи (конечно, она может быть поперечной) все же остается вопрос: какой аналог К в звуковых волнах?
@ZeroTheHero Атомы движутся в направлении распространения волны. Почему волна должна быть поперечной? Более того, стандартным приемом является линеаризация дисперсионного соотношения для одноатомной цепочки и определение скорости звука по нему.
Аналогом K для звуковых волн в сплошной среде является ее упругая постоянная, такая как объемный модуль, а аналогом m является плотность этой среды. В моем случае среда дискретная.

Ответы (2)

Ваш вопрос, кажется, имеет предпосылку: «Скорость звука постоянна по определению, поэтому, если высокочастотные фононы движутся значительно быстрее или медленнее, чем низкочастотные фононы, эти высокочастотные фононы не должны быть звуковыми волнами».

Ну, я не согласен с предпосылкой. Скорость звука зависит от частоты. Я видел это прямо и косвенно, в словах и цифрах, снова и снова в множестве различных источников. Я не думаю, что это спорно.

Тогда почему в книге Эшрофта и Мермина они линеаризуют (1) и определяют скорость звука как константу? @Стив Бирнс
Вы имеете в виду (22.31)? «Это [линейное соотношение] является типом поведения, к которому мы привыкли в случаях световых волн и обычных звуковых волн». Если это так, я думаю, что вы слишком много читаете в этой цитате. В «обычных звуковых волнах» в воздухе, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, дисперсия звука обычно не заметна, поэтому мы «привыкли» думать о постоянной (не зависящей от частоты) скорости звука... хотя на самом деле мы все знают, что оно никогда не бывает точно постоянным.

Кажется, вы сами ответили на свой вопрос, так как для небольших аргументов грех ⁡ ( к а / 2 ) ≈ к а / 2 . Следовательно, физика вашей системы такова, что дисперсионное соотношение, которое вы приводите, является в точности некоторым длинноволновым пределом.

Дисперсионные соотношения редко бывают точно линейными, а обычно линейными лишь в некотором пределе. Например, дисперсионное уравнение для фортепианной струны имеет вид

ю 2 к 2 "=" Т 0 р 0 + α к 2
где Т 0 это натяжение струны, р 0 массовая плотность и α небольшая положительная константа, которая была бы 0 если бы струна была абсолютно гибкой. Можно восстановить более обычное соотношение линейной дисперсии, пренебрегая α к 2 .

Следовательно, дисперсионное соотношение, которое вы даете, является лишь преобладающей частью полного дисперсионного соотношения, а не точным соотношением.

Если вы рассматриваете звук в газе, физика, конечно, отличается, поскольку атомы в цепочке фиксируются вокруг определенного положения, а молекулы в газе — нет. Если рассматривать звук в твердом теле, типичные значения а (которое было бы расстоянием между атомами в цепи) будет очень мало, и значения к "=" 2 π / λ была бы порядка обратной длины цепи, т. е. тоже мала. т.е. самые длинные волны, которые вы можете поместить в свою цепочку, будут порядка самой цепи. Оба аргумента указывают на к а / 2 как правило, довольно малы и поэтому оправдывают аппроксимацию грех ⁡ ( к а / 2 ) ≈ ка/2$.

Почему звуковые волны связаны с модами, подчиняющимися закону линейной дисперсии?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v