Доказательство того, что 1d-смещение решетки фононами, дается следующим образом: knd} e ^ {\ pm ikd}

Question

Доказательство того, что 1d-смещение решетки фононами, дается следующим образом: knd} e ^ {\ pm ikd}

фононы
Физика
кристаллы
конденсированное вещество
преобразование Фурье
физика твердого тела

Миккель Рев

Я посмотрел в «Kittel - Introduction to Solid State Physics», Википедии и Google вывод, что: Фонон волнового числа $k$ вытесняет $s$ атома в одноатомной 1d-кристаллической решетке на расстояние $u(s,k)$ предоставлено:

{ты}_{н \pm 1} (т) "=" А_{к} е^{я ю_{к} т} е^{я к н г} е^{\pm я к г}

$u_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm i k d}$ Первые два из вышеперечисленных источников записывают уравнение движения

м \frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} {ты}_{с} "=" С ({ты}_{с + 1} + {ты}_{с - 1} - 2 {ты}_{с}),

$m \frac{\partial ^2}{\partial t^2}u_s = C(u_{s+1} + u_{s-1} - 2u_{s}),$ где

m

$m$ это масса

s

$s$ -атом и

C

$C$ - пружинная постоянная.

Затем Киттель просто записывает решение, не вдаваясь в математику, говоря, что это решение разностного уравнения. Википедия, с другой стороны, оправдывается тем, что «это требует значительных манипуляций с использованием отношений ортонормированности и полноты дискретного преобразования Фурье», а затем струсит, записывая решение. Но интернет должен увидеть доказательства.

Я надеялся, что кто-нибудь любезно докажет приведенную выше формулу, надеюсь, основательно, используя первые принципы исчисления, анализа Фурье, вещественного анализа, классической механики, ньютоновской механики, линейной алгебры, теории оды и разностных уравнений. Я не использовал анализ Фурье около года, поэтому, когда используются какие-либо теоремы, было бы здорово отметить это в выводе. Мне кажется, что один из способов — пропустить анализ Фурье и вместо этого решить уравнение оды и разности, но я не знаю, как это сделать.

Это ПОЛНОЕ описание проблемы.

Кайл Канос

Разве экспонента не найдена с помощью пробных функций ? Или я не понимаю, что вас смущает?

пользователь10851

Это стандартная задача волновой механики, я на 99% уверен, что она описана, например, в « Волнах » Кроуфорда, если вам нужна ссылка.

Джон Кастер

Эшкрофт и Мермин были довольно прямолинейны в этом вопросе.

Ответы (2)

Доказательство того, что 1d-смещение решетки фононами, дается следующим образом: knd} e ^ {\ pm ikd}

Разве экспонента не найдена с помощью пробных функций ? Или я не понимаю, что вас смущает?
Это стандартная задача волновой механики, я на 99% уверен, что она описана, например, в « Волнах » Кроуфорда, если вам нужна ссылка.
Эшкрофт и Мермин были довольно прямолинейны в этом вопросе.

АГ · Answer 1

Я думаю, как выразился Питер Дир, было бы лучше, если бы вы достали свой карандаш. Поэтому, чтобы помочь вам в этом, я сформулировал следующие вопросы, которые помогут вам решить проблему:

Предварительная работа:

Каково определение дискретного преобразования Фурье для $u_n$ ?

На самом деле википедия дает это:
${ты}_{н} (т) "=" \sum_{к "=" 1}^{Н} U_{к} (т) е^{я к н г}$ $u_n(t) = \sum_{k=1}^{N} U_k(t)~ e^{iknd}$

2) Каково определение обратного преобразования (т.е. $U_k = f(u_n)$ ?

wikipedia тоже дает это (нужна небольшая настройка, чтобы адаптировать ее к нашей проблеме): https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
$U_{к} (т) "=" \frac{1}{Н} \sum_{н "=" 1}^{Н} {ты}_{н} (т) е^{- я к н г}$ $U_k(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} u_n(t)~ e^{-iknd}$

Какое периодическое условие на позиции (критическое)? Мы предполагаем, что атомы распределены равномерно (средние положения двух последовательных атомов разделены расстоянием $d$ , следовательно $d$ в Википедии определение преобразования Фурье).

Без периодичности преобразование Фурье не имело бы смысла.

$x(1)=0=x(d(N+1)) \Rightarrow \exp(-ix(1))=\exp(-ix(d(N+1)))=1$ . На самом деле лучше записать преобразование Фурье с $\exp\left(\frac{-2i\pi nd}{N}\right)$ чем с $e^{iknd}$ чтобы четко выразить периодичность (то же самое для обратного преобразования). Кроме того, более стандартно выражать сумму из $0$ к $N-1$ вместо $1$ к $N$ .

4) Условие ортогональности: каков результат следующей суммы?

\frac{1}{Н} \sum_{н "=" 0}^{Н - 1} опыт (- я к н г) опыт (- я к^{'} н г)

$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \exp(-iknd) \exp(-ik' nd)$

Совет: Два случая: а) $k=k'$ и б) $k\neq k'$ (используйте геометрические ряды)

Вернемся к проблеме:

Используя преобразование Фурье $u_n$ и уравнение движения, которое вы должны получить (простая сложная тригонометрия - извините за каламбур - и подстановка):

2 С \sum_{к "=" 1}^{Н} U_{к} (потому что (к г) - 1) опыт (я к н г) "=" м \sum_{к "=" 1}^{Н} \frac{г^{2} U_{к}}{{г т}^{2}} опыт (я к н г)

$2 C \sum_{k=1}^{N} U_k ~ \left(\cos(kd) - 1\right) ~ \exp(iknd) = m~\sum_{k=1}^{N} \frac{d^2U_k}{{dt}^2} \exp(iknd)$

Вам тоже не терпится убрать символ суммирования? Вот где проявляется ортогональность! Собственно, чтобы вывести символ суммирования, нужно... суммировать.

шаг 1: умножьте уравнение на $\exp(-ik'nd)$

шаг 2: какое суммирование мы должны сделать? Лучше, если вы разберетесь, не заглядывая в спойлер --- вспомните нашу предварительную работу, особенно вопрос 4).

$\sum_{n=1}^{N}$ с обеих сторон => ортогональность оставляет один результат, уравнение для $k=k'$

Окончательное решение :

Решать :

2 С U_{к} (потому что (к г) - 1) "=" м \frac{г^{2} U_{к}}{{г т}^{2}}

$2C~U_k ~ \left(\cos(kd) - 1\right) = m~ \frac{d^2U_k}{{dt}^2}$

Википедия дает ответ: https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon . Не забывайте, что $kd$ является константой для данного $k$ (поэтому для каждого уравнения).

Изменить (для решения этого вопроса):

Итак, решение, конечно, имеет вид:

U_{к} "=" А_{к} е^{я ю_{к} т}

$U_k = A_k e^{i\omega_kt}$

И если система возбуждается на одном из своих нормальных режимов (частоты $\nu_k = \frac{\omega_k}{2\pi}$ ), смещение сводится к одному компоненту:

{ты}_{н} "=" А_{к} е^{я (ю_{к} т + к н г)}

$u_n = A_k e^{i \left(\omega_k t + knd \right)}$

и есть фазовый сдвиг $e^{\pm ikd}$ между двумя последовательными узлами цепи.

{ты}_{н + 1} "=" {ты}_{н} е^{я к г}

$u_{n+1}=u_n e^{ikd}$

Спасибо, я хочу принять это как ответ. Было весело пройти через все это, и надеюсь, что другие сделают то же самое. Просто чтобы убедиться, что я правильно понял, мы согласны, что $U_k(t) = A_k e^{i\omega t}$ для каждого волнового числа $k$ . Однако, если мы предположим, что колебания синусоидальны, состоят ровно из одного волнового числа $k$ , затем $u_{n\pm 1} = \sum_{j=k}^k A_j e^{i\omega_j t} e^{i (n\pm 1)j d} = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm i k d}$ ? Если это правильно, возможно, добавить это в ответ? Таким образом, мы приходим к уравнению в заголовке и тому, которое утверждает Киттель. Вы согласны? Спасибо за ваше время.
Хорошо, я добавил ответ на этот комментарий к основному ответу. Итак, я согласен с тем, что вы заявили. Этот ответ предназначен для того, чтобы вы потренировались с ДПФ и (просто преобразование Фурье), чтобы понять, как ловить рыбу самостоятельно в следующий раз --- плюс некоторые размышления о периодических условиях проблемы. И это было приятно.

Питер Дир · Answer 2

Питер Дир

Вы начинаете с решения рекуррентного соотношения; это может быть довольно грязно, и Киттель пропускает это, поскольку это не способствует физическому обсуждению. Физика уже была учтена при разработке уравнения.

Все о решении рекуррентных отношений: < https://en.m.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation >

Миккель Рев

Этот ответ бесполезен, но я не могу проголосовать за вас, потому что мой рейтинг слишком низкий. Проблема прежде всего в том, что я вам не верю, позвольте мне объяснить вам, почему это так. Решение отношения вхождения

u_{s} = r_{\pm}^{s}

$u_s = r_\pm^s$ где

r_{\pm} = \frac{m ω^{2}}{2 C} \pm \sqrt{(\frac{m ω^{2}}{2 C})^{2} + \frac{m ω^{2}}{C}}

$r_\pm = \frac{m \omega^2}{2C} \pm \sqrt{(\frac{m \omega^2}{2C})^2 +\frac{m \omega^2}{C}}$ . Если вы достанете карандаш, то обнаружите, что как-то надо доказывать

r_{\pm} = \exp (\pm i k a)

$r_\pm = \exp(\pm ika)$ . Не стесняйтесь использовать это, чтобы доказать свою правоту.

Миккель Рев

На самом деле там опечатка, так и должно быть

r_{\pm} = 1 - \frac{m ω^{2}}{2 C} \pm \sqrt{(\frac{m ω^{2}}{2 C})^{2} + \frac{m ω^{2}}{C}}

$r_{\pm} = 1- \frac{m \omega^2}{2C} \pm \sqrt{(\frac{m \omega^2}{2C})^2 + \frac{m \omega^2}{C}}$ . Извините за это, пожалуйста, не стесняйтесь использовать эту информацию, чтобы показать нам, что вы правы.

Питер Дир

Ааа... Вы можете взять свой собственный карандаш. По моему опыту, каждый учится, делая свою собственную работу. Я благодарю вас за желание увидеть полный вывод. Опубликуйте еще раз, показав, где вы застряли.

Доказательство того, что 1d-смещение решетки фононами, дается следующим образом: knd} e ^ {\ pm ikd}

Миккель Рев

Кайл Канос

пользователь10851

Джон Кастер

Ответы (2)

АГ

Миккель Рев

АГ

Питер Дир

Миккель Рев

Миккель Рев

Питер Дир

Почему звуковые волны связаны с модами, подчиняющимися закону линейной дисперсии?

Точки симметрии в kkk-пространстве

Понимание теплопроводности фононами с использованием фононной волновой функции?

Фононный импульс

Что на самом деле представляет собой волновой вектор в контексте фононов и колебаний решетки?

Обозначение атомного ближайшего соседа

Непрямые оптические переходы немного «охлаждают» материал?

Фононная плотность состояний

Хиггс против фононов

Закон дисперсии вблизи зон Бриллюэна - Периодические потенциалы