Фононная плотность состояний

Если вопрос звучит так: «Могу ли я рассчитать плотность состояний фононов из соотношения дисперсии», то ответ — да .

Дисперсионное соотношение$\omega = f(k)$где$f$какая-то функция,$\omega$угловая частота и$k$импульс.

В одном измерении (1D) фононная плотность состояний$D^{(1D)}(\omega)$определяется как количество мод на единицу частоты на единицу (реального пространства) объема. Последнее - это просто длина одномерной системы, поэтому$L$.
Это дает:

$$D^{(1D)}(\omega) = \frac{1}{L} \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\omega} = \frac{1}{L} \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}k} \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega},$$ где цепное правило использовалось на последнем шаге.

Сейчас,$\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = 1/(\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k})$и вы можете получить$\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}$от плотности состояний$\omega = f(k)$.
Во-вторых, разделение между$k$точки в$\pi/L$(типичные граничные условия для$\sin(n \pi x/L)|_{x=0,a}=0$) так$\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}N} = \pi/L .$

Подключив это обратно к приведенному выше:

$$D^{(1D)}(\omega) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k}.$$

То же самое касается 2D и 3D.
В 3D процедура даст вам

$$D^{(3D)}(\omega) = \frac{k^2}{2\pi^2} \frac{1}{\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k}.$$

---

В модели Дебая закон дисперсии является линейным, поэтому$\omega = ck$. Если вы подключите это к$D^{(3D)}(\omega)$выражение, вы получаете:

$$D^{(3D)}(\omega) = \frac{k^2}{2\pi^2} \frac{1}{c} = \frac{\omega^2}{2\pi^2c^3},$$

это выражение, которое вы цитируете в вопросе.

---

Итак, итог. Модель Дебая — это одна из моделей, которая дает вам конкретное соотношение дисперсии. Но вы можете рассчитать DOS из любого общего соотношения дисперсии.
Понятия не имею о ваших графиках.