Фононы и теплопроводность

В качестве отправной точки предлагаю вам заглянуть на страницу Википедии, посвященную физике теплопередачи , фононному рассеянию и рассеянию Умклаппа .

В общем случае теплопроводность$\kappa$связанный с некоторым перевозчиком, удовлетворяет

где$n$- плотность числа носителей,$c_v$- теплоемкость на носитель,$u$скорость несущей и$\lambda$это средний свободный пробег. Длина свободного пробега связана со временем релаксации рассеяния носителя$\tau$к

Вы можете интерпретировать$\tau$как среднее время между двумя последовательными «столкновениями» (рассеяниями) носителя. Следовательно, из$\ref{1}$и$\ref{2}$, сразу видно, что в бесконечном идеальном гармоническом кристалле, в котором не происходит рассеяния,$\kappa$была бы бесконечной, так как не было бы рассеяния и, следовательно,$\tau = \infty$(в конечном кристалле у вас все равно будет рассеяние от границ).

В реальных физических системах фононы рассеиваются на других фононах, электронах, дефектах (примесях) и границах. Чтобы учесть эти эффекты, вы должны отказаться от гармонического приближения и рассмотреть также ангармонические члены в гамильтониане. Пирлз [а] показал, что именно ангармонизм вместе с дискретностью кристаллической решетки порождает термическое сопротивление.

В частности, говоря о фонон-фононном и фонон-электронном рассеянии, обычно различают «нормальные» процессы, сохраняющие полный волновой вектор, и процессы «переброса» (или U-процессы), когда полный волновой вектор заменяется вектором обратной решетки. Чтобы узнать больше об этом различии и его (спорной) полезности, вы можете посмотреть здесь .

Все эти мероприятия способствуют времени релаксации$\tau$, а их вклады учитываются по правилу Маттиссена , которое гласит, что полное время релаксации$\tau$можно рассчитать как

где$\tau_i$- времена релаксации, связанные с возможными различными событиями рассеяния. Вот как «математически» явления рассеяния влияют на теплопроводность материала.

Как эта фононная картина объясняет тот факт, что когда мы нагреваем плохой проводник, тепло постепенно распространяется от более горячего конца к более холодному? Если это делокализованные коллективные возбуждения, то не должны ли они одновременно нагревать все части вещества?

Я думаю, что здесь ответ заключается просто в том, что вам нужно некоторое время, чтобы наступило «делокализованное коллективное возбуждение», о котором вы говорите. Это должно быть верно даже для совершенного кристалла, даже если его бесконечная теплопроводность, казалось бы, предполагает обратное. , иначе мы бы имели мгновенное распространение сигнала (колебание атомов). Вы думаете о фононах как о «делокализованном коллективном возбуждении», но на самом деле они гораздо больше похожи на волновые пакеты, возникающие в результате суперпозиции этих коллективных возбуждений ( нормальные моды кристалла). Может быть, я не на 100% точен в своей терминологии, но надеюсь, что мне удалось передать общий смысл того, что я имею в виду.

Рекомендации

[a] Р. Пайерлс, «Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen» («О кинетической теории теплопроводности в кристаллах») Ann. физ. 395, 1055–1101 (1929)

Теплопроводность определяется как отношение потока энергии и градиента температуры (с точностью до множителя). Если фононы движутся свободно, то может существовать произвольный поток энергии без температурного градиента (поэтому конечная скорость фононов не делает теплопроводность конечной). См. подробности о роли рассеяния, скажем, на http://www.physics.iisc.ernet.in/~aveek_bid/PH208/Lecture%208%20phonons-thermal%20properties.pdf

Можно наблюдать баллистическое распространение, но для этого нужны особые условия. В норме транспорт диффузный. При низких температурах в рассеянии преобладают дефекты решетки. Эффект есть даже у изотопов, алмаз с пониженным содержанием$^{13}$C имеет более высокую теплопроводность, чем алмаз природного изотопного состава. Это рассеяние определяет длину свободного пробега. Пока$\lambda_{free}$может быть приблизительно независима от температуры при низких температурах, проводимость увеличивается с температурой, потому что фононы переносят больше энергии (пропорционально$C_v$).

При высоких температурах теплопроводность уменьшается из-за меньшей длины свободного пробега, обусловленной фонон-фононным взаимодействием. Когда вариации длин атомных связей становятся больше, становятся важными ангармонические члены. Волновое уравнение больше не является линейным, волны больше не всегда проходят друг через друга, есть вероятность, что будут созданы новые волны (фононы).

По сути, я собираюсь объяснить, что объясняется в видео здесь, хотя этот ответ конкретно относится к плохим проводникам.

Существует два типа фонон-фононного рассеяния: нормальное рассеяние и рассеяние Умклаппа . Хотя оба рассеяния сохраняют энергию, первое сохраняет импульс кристалла, а второе — нет. Два акустических фонона с равным и противоположным импульсом$\textbf{q}$(или точнее,$\hbar\textbf{q}$) и$-\textbf{q}$в первой зоне Бриллюэна могут рассеиваться и объединяться, давая нулевой импульс ($\textbf{q}=0$) фонон. Это будет оптический фонон, потому что энергия должна сохраняться и прибавляться. С другой стороны, два акустических фонона с неравными импульсами$\textbf{q}_1$и$\textbf{q}_2$в первой зоне Бриллюэна разлетаются без сохранения импульса кристалла, а только энергии.

Теперь, когда мы нагреваем один конец стержня из какого-либо материала и охлаждаем другой, нагретый конец производит фононы как локальные возбуждения. Когда фононы приближаются от более горячего к более холодному концу, возникает значительный импульс фонона.$\textbf{q}$в этом направлении. При нормальном рассеянии мы ожидаем перераспределения только импульсов фононов, а сопротивления тепловому потоку не будет. С другой стороны, поскольку рассеяние с перебросом не сохраняет импульс, если исходный конец стержня локально производит значительное количество фононов с направленным вправо импульсом, после нескольких рассеяний с перебросом значительная их часть будет двигаться в противоположном направлении, препятствуя передача тепла, что объясняет, почему нагрев всех частей не происходит одновременно. Рассеяние переброса является доминирующим механизмом рассеяния фононов при комнатной температуре и выше, а скорость рассеяния пропорциональна концентрации фононов. Получается, что длина свободного пробега фононов$\lambda$обратно пропорциональна температуре$T$. Повышение температуры увеличит концентрацию фононов и уменьшит длину свободного пробега.