Понял ли Рассел теоремы Гёделя о неполноте?

После недолгих поисков я нашел несколько многообещающих выводов (и довольно много последовательных описаний), которые предполагают, что Рассел считал результаты Гёделя чрезвычайно важными, но неправильно понял их значение. В частности, он думал, что результат Гёделя по существу влечет за собой то, что арифметика Пеано была скорее непоследовательной , чем неполной ; но также понял, что это не то, на что, вероятно, претендовал Гёдель.

Я понимал, конечно, что работа Геделя имеет фундаментальное значение, но она меня озадачила. Меня обрадовало, что я больше не занимаюсь математической логикой. Если данный набор аксиом приводит к противоречию, ясно, что по крайней мере одна из аксиом должна быть ложной. Применимо ли это к школьной арифметике, и если да, то можем ли мы верить тому, чему нас учили в юности? Должны ли мы думать, что 2 + 2 — это не 4, а 4,001? Очевидно, это не то, что задумано.

(Из Рассела, Гёделя и логицизма .) Было бы интересно получить более полное описание того, как Рассел пришел к этому заблуждению: было ли это утверждением чего-то в качестве теоремы, содержание которой заключалось в установлении истинности утверждения, которое было доказуемо не теорема (другой формальной системы)? Конечно, Рассел, возможно, не очень подробно объяснял, почему он так интерпретировал теорему о неполноте; в конце концов, он перестал заниматься математической логикой. Мне, как выдающемуся писателю и человеку, которого, очевидно, стоит спросить о результатах Гёделя, кажется правдоподобным, что мой беглый поиск выявил только верхнюю десятую часть айсберга. Эта гипотеза подтверждается записью реакции Гёделя на реакцию Рассела на его теорему о неполноте:

Рассел явно неверно интерпретирует мой результат; однако он делает это в очень интересной манере.

(Из книги « Информация и случайность: алгоритмическая перспектива» .) Возможно, Гёдель просто нашел смущенное беспокойство Рассела освежающим изменением реакции по сравнению с реакцией других; возможно, он сказал это, чтобы усилить контраст с реакцией Витгенштейна на теорему о неполноте (которая была банальна, но чего еще можно ожидать от того, кто считает теорию множеств сродни детской болезни?); или, возможно, Гёдель просто вежливо обращался со старшим государственным деятелем. Но если бы он действительно нашел реакцию Рассела интересной , это означало бы более серьезное неверное истолкование.

Нижеследующее взято из последней статьи Рассела под названием «Логический позитивизм». Его можно найти в «Логике и знании».

Оказалось, что любой язык должен иметь некоторую неполноту в том смысле, что о языке можно сказать то, чего нельзя сказать на языке. Это связано с парадоксами — лжец, класс классов, не являющихся членами самих себя, и т. д. Эти парадоксы представлялись мне требующими для своего решения иерархии «логических типов», а учение об иерархии языков принадлежит к тому же порядку идей. Например, если я говорю: «Все предложения в языке L либо истинны, либо ложны», это не предложение в языке L. Как показал Карнап, можно построить язык, в котором многие вещи о язык может быть сказан, но никогда не все вещи, которые могут быть сказаны: некоторые из них всегда будут принадлежать «метаязыку». Например,
Произошло обширное техническое развитие логики, логического синтаксиса и семантики. В этом вопросе Карнап проделал большую работу. «Der Begriff der Wahrheit in den formalisierten Sprachen» Тарского — очень важная книга, и если ее сравнить с попытками философов прошлого дать определение «истине», то она показывает увеличение силы, проистекающей из совершенно современной техники. Не то, чтобы трудности закончились. Новый набор головоломок стал результатом работы Гёделя, особенно его статьи «Überformal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» (1931), в которой он доказал, что в любой формальной системе можно построить предложения, из которых правда или ложь не может быть решена внутри системы. Здесь мы снова сталкиваемся с насущной необходимостью иерархии,

Похоже, здесь он немного приблизился к ее пониманию, но все же довольно далеко. Кажется, он смешивает разрешимость Тьюринга, теорему Тарского об определимости и неполноту в одну однородную массу. Его утверждение теоремы Гёделя либо тривиально ложно, либо интересно верно, в зависимости от того, что он подразумевает под «разрешимым в формальной системе»: у этого человека действительно есть способность к утверждениям, которые обходят грань между ними.

Комментарии Рассела о Гёделе были скудными, но маловероятно, что Рассел не понимал, о чем говорил Гёдель. Парадокс, представленный предложением Гёделя, не был чем-то новым; это был тот же самый старый парадокс порочного круга , который был полностью развеян Теорией типов Рассела [источник 1]. Рассел открыл Теорию типов в 1906 году. Теория типов не давала убежища для порочных кругов. [источник 3] С другой стороны, то, что Гёдель снова поднял этот парадокс в 1931 году, указывает на то, что Гёдель, вероятно, никогда не понимал теорию типов Рассела.

В теории типов Рассела значение имеет фундаментальное значение. Значение самореферентного предложения G не может быть определено до тех пор, пока не определено значение каждого из его составляющих; одной из составляющих G является сама G, поэтому значение G не может быть определено, потому что G содержит порочный круг.

Ни одно предложение не может ничего сказать о себе, потому что пропозициональный знак не может содержаться в себе (это и есть «вся теория типов»).

Виттегенштейн, Трактат 3.332

Гёдель, с формалистской точки зрения, рассматривал символы в ПМ как бессмысленные пустые знаки[источник 9], и с помощью нумерации Гёделю удалось показать, что G принадлежит к совокупности предложений, для которых ПМ должен был быть основанием - это было предметом разногласий: согласно теории типов Рассела G не имело значений и, следовательно, не принадлежало к корпусу предложений: все самореферентные предложения были специально отсеяны теорией типов как бессмысленные. Нападки Гёделя на Principia были похожи на подбрасывание мешка с травкой в ​​машину соседа по комнате и обвинение его в незаконном хранении наркотиков, или на обвинение соседа по комнате, который на самом деле говорил по телефону на другом языке, в угрозах президенту США. Соединенные Штаты

Корень проблемы заключался в пренебрежении формалистами значениями. В «Введении ко второму изданию» «Принципов математики » Рассела 1937 года Рассел категорически отверг формалистов:

Формалисты подобны часовщику, который настолько поглощен тем, чтобы сделать свои часы красивыми, что забыл об их предназначении — показывать время и поэтому не вставил в них никаких работ.

Была ли работа Гёделя ниже презрения? В этом мире есть сумасшедшие, мошенники и простофили. Мошенники ниже презрения; сумасшедшие и простофили - нет. Рассел был очень щедр; он расточал похвалы Витгенштейну и Рамсею, которые безжалостно нападали на его Principia, но в то же время безошибочно демонстрировали свое понимание его теории типов. С другой стороны, ничто в работе Гёделя не указывало на то, что Гёдель имел хоть какое-то представление о теории типов Рассела. Хотя Расселу очень хотелось сказать что-нибудь приятное, на самом деле он мало что мог сказать; по отношению к начинающим философам Рассел был нежным и заботливым и очень старался не повышать голос. следующий отрывок был рассказом Рассела о его встрече с Гёделем:

В Принстоне я довольно хорошо познакомился с Эйнштейном. Раз в неделю я приходил к нему домой, чтобы поговорить с ним, с Гёделем и Паули. Эти дискуссии были в некотором роде разочаровывающими, ибо, хотя все трое были евреями и изгнанниками, а намеренно космополитами, я обнаружил, что все они имели немецкую склонность к метафизике, и, несмотря на все наши усилия, мы так и не пришли к общему мнению. предпосылки для спора. Гёдель оказался искренним платоником и, по-видимому, считал, что вечное «не» хранится на небесах, где добродетельные логики могут надеяться встретить его в будущем.

Рассел, Бертран. «Америка. 1938-1944». Автобиография. 1967. Лондон и Нью-Йорк: Рутледж, 2000. Печать. 466.

Теоремы Гёделя были, вероятно, более разрушительными для формалистов, потому что они показывали, какие нелепости допустимы в формализме. Тем не менее, возможно, что PM является неполным или непоследовательным, но доказательство полноты и согласованности не было заботой PM. И полнота, и непротиворечивость включают в себя все , то, что составляет все предложения , является предметом спора. [источник 4] PM вообще не стремился; он стремился вывести арифметику, которая была отправной точкой обычной математики; PM попал в цель, и по пути PM сделал несколько счастливых открытий. Что касается согласованности, все, что PM мог сказать, было, вероятно, примерно так: «на сегодняшний день внутри PM не было обнаружено никаких сокращений» — более того, это выходило за рамки того, что могли гарантировать индуктивные рассуждения [источник 2]. Выводя арифметику из логических принципов, П. М. продемонстрировал, что математика и логика идентичны — этот тезис, впервые предложенный в его « Принципах » 1900-х годов , Рассел никогда не видел причин для изменения.

Если бы предложение Гёделя было истинным, PM было бы несовместимым, потому что в силу PM ✳ 2.02, в котором говорится, что истинное суждение следует из любого предложения, PM подразумевает G. Любая совокупность предпосылок, которая может вывести G, не является действительным основанием, поскольку она содержит противоречие; противоречивая совокупность посылок содержит ложные посылки, а ложная посылка подразумевает любой вывод (PM ✳ 2.21) - вот почему Рассел спросил: «Должны ли мы думать, что 2 + 2 - это не 4, а 4,001?» С другой стороны, если принципы в PM были утверждены, предложение Гёделя никого не вовлекало, потому что это было либо бессмыслицей, либо непротиворечивостью теории типов. [источник 3]

Можно ли узнать, что утверждение истинно, прежде чем оно будет доказано? Да, ты можешь. Но эти предложения — это то, что Витгенштейн называл тавтологиями, ни одно из которых не является гёделевским предложением G. По сути, тавтологии — это разные способы сказать одно и то же. Тавтология

Как и все теории, чьи обоснования носят индуктивный характер, ПМ по своей природе должна быть предварительной, подлежащей пересмотру на основе новых данных; второе издание PM продемонстрировало позицию Рассела более, чем доказало: Рассел извлек урок из ссоры между Ньютоном и Лейбницем, и у него не было никакого желания занять место Аристотеля, чтобы утвердиться в качестве высокого авторитета - Рассел действительно изо всех сил старался не играть роль авторитета. 7 [8]

Источники: 1. Принцип порочного круга.

2. Индуктивная природа Principia Mathematica

3. Если фразу Гёделя понимать буквально, то это бессмыслица; если его интерпретировать в теории типов, то это одновременное утверждение нескольких утверждений — это то, что Рассел имеет в виду, говоря: «Здесь мы снова сталкиваемся с существенной необходимостью иерархии, простирающейся вверх до бесконечности и логически неспособной к завершению». Парадокс лжеца. Обратите внимание: каждый раз, когда я указываю на парадокс лжеца, люди автоматически говорят, что я принял истину за доказуемость. На самом деле это различие не имеет значения; что объединяет парадокс лжеца и G, так это то, что все они самореферентны. Если предложение не может комментировать само себя, то оно комментирует свой аналог на один порядок ниже себя, таким образом, иерархия поднимается со второго порядка до бесконечности. G первого порядка не существует, потому что предложение о предложении имеет как минимум 2-й порядок. Предложения первого порядка касаются отдельных лиц, а не предложений. Теория логических типов

4. Если непротиворечивость означает отсутствие противоречия, тогда нужно исследовать все предложения, тогда опять же, что входит во все ? Рассел где-то сказал, что Уайтхед и сам считал, что невозможно доказать непротиворечивость формальной системы.

5.

Фундаментальный тезис следующих страниц, что математика и логика тождественны, с тех пор я никогда не видел причин для изменения. Рассел, Бертран. Введение ко второму изданию. Второй абзац. Основы математики, 1937.

6. Рассел в нескольких работах упомянул, что чрезвычайно умные люди также эмоционально нестабильны; вместо призыва к «психологической стойкости» он выступал за отделение чувствительных детей от толпы. Один источник, о котором я могу сказать наверняка, это «Образование и хорошая жизнь». Рассел определенно знал о хрупком психическом состоянии философского сообщества. Это осознание пронизывает почти все его нетехнические сочинения.

7. Где-то Рассел обвинил Ньютона в том, что он отстал от британской математики на 150 лет, и он не знал, насколько британская математика отстала от Германии, пока не посетил США. Не могу с ходу придумать источник, но где-то он точно сказал что-то в этом роде

8. Рассел пытался обойтись без аксиомы сводимости во 2-м. Рэмси обвинил AOR в том, что это грубый факт, а не тавтология (см . «Основы математики» Рэми ); Рассел признал, что AOR не хватало самоочевидности, и был готов показать, на что это было похоже без AOR во 2-м.

9. Следующая интерпретация PM формалистами является основным неправильным пониманием PM формалистами:

Однако символы ПМ полностью лишены смысла в том смысле, что вывод теорем зависит только от следования формальным правилам ПМ.

Источник: Нагель и Ньюман. Доказательство Гёделя. Нью-Йорк и Лондон: издательство Нью-Йоркского университета, 2001. Печать 71.

Чтобы понять, как работает Теория типов, возьмем, например, предложение «множество не является членом самого себя»; это предложение ни истинно, ни ложно; оно бессмысленно и, таким образом, не принадлежит к совокупности предложений, для которых PM должен быть основой. Очевидно, подобные предложения не только допустимы для формалистов, не рассматривающих смысл как охранительный критерий, преграждающий вход бессмыслице, они даже фундаментальны для ZFC .

Как упоминалось в комментарии , Аласдер Уркхарт написал статью « Рассел и Гёдель » ( Bull. Symb. Logic 22 (2016), 504–520), в которой обсуждается ряд различных тем, в том числе взгляд Рассела на результаты Гёделя. Он приводит многие цитаты Рассела, которые приводили здесь другие респонденты, а также следующую цитату из «Приложения», которое было написано в 1965 году, но опубликовано только посмертно в 1971 году, в четвертом издании «Философии Бертрана Рассела» .

Вскоре после появления Principia Mathematica, Гёдель выдвинул новую трудность. Он доказал, что в любом систематическом логическом языке есть утверждения, которые можно сформулировать, но которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Многие (думаю, не Гёдель) восприняли это как фатальное возражение против математической логики в той форме, которую ей придали я и другие. Я никогда не был в состоянии принять эту точку зрения. Те, кто придерживается этой точки зрения, утверждают, что никакая систематическая логическая теория не может быть истинной для всего. Как ни странно, они никогда не применяют это мнение к элементарной бытовой арифметике. Пока они этого не сделают, я считаю, что их можно игнорировать. Я всегда предполагал, что в математической логике есть предложения, которые можно сформулировать, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Двое из них занимали довольно видное место в Principia Mathematica .— а именно, аксиома выбора и аксиома бесконечности. Однако многим математическим логикам разрушительное влияние работы Гёделя кажется гораздо более значительным, чем мне, и считалось, что оно требует значительного ограничения сферы применения математической логики. … Я придерживаюсь мнения, что следует составить наилучший набор аксиом, который только можно придумать, и верить в него до тех пор, пока не появятся фактические противоречия.

Эта цитата, кажется, демонстрирует достаточно хорошее понимание того, что доказал Гёдель. С другой стороны, как уже отмечалось, есть и другие замечания Рассела, которые, похоже, неправильно понимают Гёделя. Уркхарт заключает: «В конце концов, вероятно, невозможно полностью последовательно интерпретировать комментарии Рассела к теореме о неполноте. В его замечаниях правильное изложение работы Гёделя сочетается с весьма запутанными и запутанными идеями».