Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Question

Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Физика
симметрия
теория поля
Нётер-теорема
лагранжев формализм
классическая теория поля

Бенце Рашко

Я пытаюсь кое-что понять относительно теоремы Нётер - и в данной ситуации мой вопрос не то чтобы вопрос, я скорее просто ищу подтверждения, правильно ли я думаю или нет.

Ситуация:

Позволять $\mathcal L$ — лагранжева плотность, зависящая от некоторого поля $\phi$ , и его первая производная. Теорема Нётер (наивно) говорит, что если $\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\delta\phi(x)$ является конкретной бесконечно малой деформацией поля (точнее было бы сказать, что это гладкое 1-параметрическое семейство конечных деформаций - и нас интересует поведение при $d/d\epsilon|_{\epsilon=0}$ ), такой, что $\mathcal L$ меняется дивергенцией ( $\delta\mathcal L=\partial_\mu K^\mu$ ), то ток

{Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта ф - К^{мю}

$j^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi-K^\mu$ сохраняется на оболочке.

Известно, что это можно переделать в другую форму, сделав $\epsilon$ быть функцией, а не параметром. Тогда действие, вообще говоря, не будет инвариантным, но деформация действия даст тот же ток $j^\mu$ , и можно показать его сохранение.

Проблема в том, что это не имеет смысла, имхо. Чтобы показать это, рассмотрим следующее, пусть $\epsilon(x)$ — «бесконечно малый» функциональный параметр, вариация

ф (Икс) \mapsto ф (Икс) + ϵ (Икс) дельта ф (Икс) .

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon(x)\delta\phi(x).$ Давайте определим

ϵ^{'} (x)

$\epsilon'(x)$ и

ϵ

$\epsilon$ как

ϵ (x) = ϵ ϵ^{'} (x)

$\epsilon(x)=\epsilon\epsilon'(x)$ , где только здесь

ϵ

$\epsilon$ является «бесконечно малым». Теперь вариация имеет вид

ф (Икс) \mapsto ф (Икс) + ϵ ϵ^{'} (Икс) дельта ф (Икс) .

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\epsilon'(x)\delta\phi(x).$ Теперь мы переопределяем

δ ϕ (x)

$\delta\phi(x)$ к

δ ϕ^{'} (x) = ϵ (x) δ ϕ (x)

$\delta\phi'(x)=\epsilon(x)\delta\phi(x)$ , то вариация имеет вид

ф (Икс) \mapsto ф (Икс) + ϵ дельта ф^{'} (Икс) .

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\delta\phi'(x).$

Это буквально та же самая форма, которая была у нас до того, как мы приняли $\epsilon$ является функцией.

Таким образом, возникает вопрос: что мы имеем в виду под «вариацией с бесконечными параметрами»? Проблема явно вызвана тем, что если $\delta\phi(x)$ является конкретным, но достаточно произвольным, то он по-прежнему содержит столько «свободных параметров», сколько различных возможных значений для $x$ . По сути, $\delta\phi(x)$ уже содержит бесконечные параметры.

Разрешение:

Глядя на конкретные примеры, такие как $U(1)$ преобразование свободного, массивного, комплексного поля Клейна-Гордона, конечное преобразование есть

ф (Икс) \mapsto е^{я ϵ} ф (Икс) .

$\phi(x)\mapsto e^{i\epsilon}\phi(x).$ Бесконечно мало, это

ф (Икс) \mapsto ф (Икс) + я ϵ ф (Икс),

$\phi(x)\mapsto \phi(x)+i\epsilon\phi(x),$ так

дельта ф (Икс) "=" я ф (Икс) .

$\delta\phi(x)=i\phi(x).$

Здесь мы видим, что $\delta\phi(x)$ зависит от $x$ только через невозмущенное поле $\phi(x)$ сам по себе, так что здесь вариация действительно 1-параметрическая.

Если мы сделаем это для другого архетипического примера — пространственно-временных переводов — мы получим те же результаты.

Вопрос:

Правильно ли я говорю, что в обычной форме теоремы Нётер следует сформулировать, что мы рассматриваем вариации вида

ф (Икс) \mapsto ф (Икс) + ϵ дельта ф [ф (Икс), \partial ф (Икс)],

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\delta\phi[\phi(x),\partial\phi(x)],$ где

δ ϕ

$\delta\phi$ является специфической функцией поля $\phi$ , а возможно, и ее производные, но не координаты $x$ ?

Потому что только тогда мне имеет смысл обсуждать, имеет ли вариация конечное или бесконечное количество параметров.

Ответы (2)

Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Qмеханик · Answer 1

Давайте переформулируем вопрос ОП (v1) следующим образом:

В первой теореме Нётер может ли бесконечно малая вариация явно зависеть от точки пространства-времени? $x^{\mu}$ ?

Ответ: Да.

Пример: лагранжева формулировка. Рассмотрим лагранжиан

\begin{matrix} (Л1) & л "=" Т - В, Т "=" \frac{м}{2} {\dot{д}}^{2}, В "=" \frac{α}{д^{2}} . \end{matrix}

$L~:=~T-V ,\qquad T~:=~\frac{m}{2}\dot{q}^2,\qquad V~:=~\frac{\alpha}{q^2}. \tag{L1}$ где

α

$\alpha$ является константой. Это легко проверить

\begin{matrix} (Л2) & дельта д "=" ε (д - 2 т \dot{д}), дельта т "=" 0, \end{matrix}

$\delta q ~=~ \varepsilon (q-2t\dot{q}), \qquad \delta t ~=~0, \tag{L2}$ является бесконечно малой квазисимметрией

\begin{matrix} (Л3) & дельта л "=" \dots "=" ε \frac{г к^{0}}{г т}, к^{0} "=" - 2 т л . \end{matrix}

$\delta L ~=~\ldots ~=~\varepsilon\frac{dk^{0}}{dt}, \qquad k^0~:=~-2t L . \tag{L3}$ Здесь

ε

$\varepsilon$ является постоянным бесконечно малым параметром. Голый нётеровский заряд равен

\begin{matrix} (Л4) & {Вопрос}^{0} "=" м \dot{д} (д - 2 т \dot{д}) . \end{matrix}

$Q^0~=~m\dot{q}( q-2t\dot{q}). \tag{L4}$ Полный заряд Нётера

\begin{matrix} (L5) & Вопрос "=" {Вопрос}^{0} - к^{0} "=" м д \dot{д} - 2 т (Т + В) \end{matrix}

$Q~:=~Q^0-k^0~=~mq\dot{q} -2t(T+V) \tag{L5}$ является сохраняющейся величиной.

Пример: формулировка Гамильтона. Рассмотрим гамильтонов лагранжиан

\begin{matrix} (Н1) & л_{ЧАС} "=" п \dot{д} - ЧАС, ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 м} + \frac{α}{д^{2}}, \end{matrix}

$L_H~=~p\dot{q}-H, \qquad H~:=~\frac{p^2}{2m}+\frac{\alpha}{q^2}, \tag{H1}$ где

α

$\alpha$ является константой. Это легко проверить

\begin{matrix} (Н2) & дельта д "=" ε (д - \frac{2 т}{м} п), дельта п "=" - ε (п + \frac{4 α т}{д^{3}}), дельта т "=" 0, \end{matrix}

$\delta q ~=~ \varepsilon \left( q-\frac{2t}{m}p\right), \qquad \delta p ~=~- \varepsilon \left( p+\frac{4\alpha t}{q^3}\right), \qquad \delta t ~=~0, \tag{H2}$ является бесконечно малой квазисимметрией

\begin{matrix} (Н3) & дельта л_{ЧАС} "=" \dots "=" ε \frac{г к^{0}}{г т}, к^{0} "=" 2 т (\frac{α}{д^{2}} - \frac{п^{2}}{2 м}) . \end{matrix}

$\delta L_H ~=~\ldots ~=~\varepsilon\frac{dk^{0}}{dt}, \qquad k^0~:=~2t\left(\frac{\alpha}{q^2} -\frac{p^2}{2m}\right) . \tag{H3}$ Здесь

ε

$\varepsilon$ является постоянным бесконечно малым параметром. Голый нётеровский заряд равен

\begin{matrix} (Н4) & {Вопрос}^{0} "=" п (д - \frac{2 т}{м} п) . \end{matrix}

$Q^0~=~p\left( q-\frac{2t}{m}p\right). \tag{H4}$ Полный заряд Нётера

\begin{matrix} (Н5) & Вопрос "=" {Вопрос}^{0} - к^{0} "=" д п - 2 т ЧАС \end{matrix}

$Q~:=~Q^0-k^0~=~qp -2tH \tag{H5}$ является сохраняющейся величиной. Этот пример подробнее обсуждается в этом посте Phys.SE.

тпаркер · Answer 2

Все это хорошие вопросы, которые были тщательно изучены, с очень нетривиальными ответами, которые, к сожалению, слишком сложны, чтобы полностью охватить их одним ответом. В общем да, симметрии могут зависеть как от координат пространства-времени, так и от значений поля, и формы соответствующих нётеровских токов немного отличаются от обычного выражения. С чисто математической, а не физической точки зрения, рассмотрение операций симметрии с бесконечным числом степеней свободы переносит вас из области первой теоремы Нётер в область второй теоремы Нётер, которая представляет собой математическое тождество, связывающее четыре дивергенции определенных токов с линейными комбинациями различные уравнения Эйлера-Лагранжа. См . https://arxiv.org/abs/hep-th/0009058 .за подробное обсуждение первой и второй теорем Нётер (в котором очень тщательно проводится различие между бесконечно малым, однопараметрическим семейством преобразований и т. д.) со ссылками на большое количество более релевантной литературы.

Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Бенце Рашко

Ответы (2)

Qмеханик

тпаркер

Вывод теоремы Нётер для полей

Уникальность определения тока Нётер

Как найти непрерывные преобразования, оставляющие действие неизменным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Теорема Нётер в классической теории поля Путаница

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?

Какие преобразования не являются симметриями лагранжиана?

Инвариантность действия против лагранжиана в теореме Нётер?

Переводы и теорема Нётер

Теорема Нётер: смысл преобразования координат