Вывод теоремы Нётер для полей

Question

Вывод теоремы Нётер для полей

Физика
симметрия
теория поля
Нётер-теорема
лагранжев формализм
классическая теория поля

Тамир Веред

Я пытался понять (из нескольких источников), как выводится теорема Нётер для полей, и, читая страницу Википедии о теореме Нётер, я столкнулся со следующим:

скажем, у нас есть следующее инфинитезимальное преобразование координат и поля:

{Икс}^{мю} \to ξ^{мю} "=" {Икс}^{мю} + дельта {Икс}^{мю}

$x^{\mu} \rightarrow \xi^{\mu}=x^{\mu}+\delta x^\mu$

ф \to α (ξ^{мю}) "=" ф ({Икс}^{мю}) + дельта ф ({Икс}^{мю})

$\phi \rightarrow \alpha(\xi^{\mu})=\phi(x^{\mu})+\delta \phi(x^{\mu})$ а изменение действия можно записать как разность интеграла от лагранжиана по преобразованной области

Ω^{'}

$\Omega'$ и интеграл от лагранжиана по исходной области

Ω

$\Omega$ :

\int_{{Ом}^{'}} л (α, \partial_{ν} α, ξ^{мю}) г^{4} ξ - \int_{Ом} л (ф, \partial_{ν} ф, {Икс}^{мю}) г^{4} Икс

$\int_{\Omega'} {L(\alpha,\partial_{\nu}\alpha,\xi^\mu) d^{4}\xi} - \int_{\Omega} {L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) d^{4}x}$

В статье говорится, что, используя теорему о дивергенции, это четыре измерения и предполагая изменение области $\Omega\rightarrow\Omega'$ можно показать, что приведенное выше выражение эквивалентно следующему:

\int_{Ом} л (α, \partial_{ν} α, {Икс}^{мю}) + \frac{\partial}{\partial {Икс}^{о}} [л (ф, \partial_{ν} ф, {Икс}^{мю}) дельта {Икс}^{о}] - л (ф, \partial_{ν} ф, {Икс}^{мю}) г^{4} Икс

$\int_{\Omega} {L(\alpha,\partial_{\nu}\alpha,x^\mu)+\frac {\partial} {\partial x^\sigma} [L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) \delta x^\sigma]-L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) d^{4}x}$

Я попытался показать, что этот переход верен, предполагая, что первый интеграл исходного выражения является дивергенцией некоторого 4-векторного поля, но я не мог понять это правильно, я также пытался показать тот же переход на основе якобиана замены переменных. сделал между интегралами и не мог этого сделать.

Может ли кто-нибудь подробно описать этот переход, чтобы было ясно, почему он правильный?

Ответы (1)

Вывод теоремы Нётер для полей

Колчан · Answer 1

Начиная с (обратите внимание, что в вашей формуле есть ошибка, поскольку первый лагранжиан должен быть простым, преобразованным, лагранжианом)

\int_{{Ом}^{'}} л^{'} (α, \partial_{ν} α, ξ^{мю}) г^{4} ξ - \int_{Ом} л (ф, \partial_{ν} ф, {Икс}^{мю}) г^{4} Икс

$\int_{\Omega'} {L^\prime(\alpha,\partial_{\nu}\alpha,\xi^\mu) d^{4}\xi} - \int_{\Omega} {L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) d^{4}x}$

если вы хотите изменить объем интегрирования, мы должны найти якобиан, который, учитывая преобразование, просто

Дж "=" \frac{\partial ξ^{о}}{\partial {Икс}^{о}} "=" 1 + \partial_{о} дельта {Икс}^{о}

$J = \frac{\partial \xi^{\sigma}}{\partial x^\sigma} = 1 + \partial_\sigma\delta x^\sigma$

Если вы подставите это в интегралы, вы найдете

\int_{Ом} г^{4} Икс [(1 + \partial_{о} дельта {Икс}^{о}) л^{'} - л]

$\int_\Omega d^4x \left[(1+\partial_\sigma\delta x^\sigma)L^\prime-L\right]$

который при первом заказе оставляет вас с

\int_{Ом} г^{4} Икс [(л^{'} - л) + \partial_{о} дельта {Икс}^{о} л] "=" \int_{Ом} г^{4} Икс [Δ л + \partial_{о} дельта {Икс}^{о} л]

$\int_\Omega d^4x\,\left[(L^\prime-L)+\partial_\sigma\delta x^\sigma L\right] = \int_\Omega d^4x\left[\Delta L+\partial_\sigma\delta x^\sigma L\right]$

где $\Delta L$ полная вариация лагранжиана. Это дается

Δ л "=" л^{'} (α, \partial_{мю} α, ξ^{мю}) - л (ф, \partial_{мю} ф, {Икс}^{мю}) "=" \frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф_{, мю} + \frac{\partial л}{\partial {Икс}^{мю}} дельта {Икс}^{мю} + дельта л (ф, \partial_{мю} ф, {Икс}^{мю})

$\Delta L = L^\prime(\alpha, \partial_\mu\alpha, \xi^\mu)-L(\phi, \partial_\mu\phi, x^\mu) = \frac{\partial L}{\partial \phi}\delta\phi+\frac{\partial L}{\partial\phi_{,\mu}}\delta\phi_{,\mu}+\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta x^\mu+\delta L(\phi, \partial_\mu\phi, x^\mu)$

в первом порядке в $\delta$ . Теперь мы можем сделать некоторые манипуляции: интеграл становится

\int_{Ом} г^{4} Икс [\frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф_{, мю} + \frac{\partial л}{\partial {Икс}^{мю}} дельта {Икс}^{мю} + дельта л (ф, \partial_{мю} ф, {Икс}^{мю}) + \partial_{о} дельта {Икс}^{о} л] "=" \int_{Ом} г^{4} Икс [дельта л + \frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта \partial_{мю} ф + ((\partial_{мю} л) дельта {Икс}^{мю} + (\partial_{мю} дельта {Икс}^{мю}) л)]

$\int_\Omega d^4 x\left[\frac{\partial L}{\partial \phi}\delta\phi+\frac{\partial L}{\partial\phi_{,\mu}}\delta\phi_{,\mu}+\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta x^\mu+\delta L(\phi, \partial_\mu\phi, x^\mu)+\partial_\sigma\delta x^\sigma L\right] \\ = \int_\Omega d^4 x\left[\delta L + \frac{\partial L}{\partial \phi}\delta\phi+\color{red}{\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\partial_\mu\phi} + \color{orange}{((\partial_\mu L)\delta x^\mu+(\partial_\mu\delta x^\mu)L)}\right]$

где я изменил индекс отключения звука $\sigma$ к $\mu$ . Красный член можно переписать как дивергенцию, используя формулу распределения для производной

\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта \partial_{мю} ф "=" \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта ф) - (\partial_{мю} \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)}) дельта ф

$\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\partial_\mu\phi = \partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi\right)-\left(\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\right)\delta\phi$

Во многом таким же образом оранжевый термин дает

((\partial_{мю} л) дельта {Икс}^{мю} + (\partial_{мю} дельта {Икс}^{мю}) л) "=" \partial_{мю} (л дельта {Икс}^{мю})

$((\partial_\mu L)\delta x^\mu+(\partial_\mu\delta x^\mu)L) = \partial_\mu(L\delta x^\mu)$

поэтому интеграл становится

\int_{Ом} г^{4} Икс [дельта л + (\frac{\partial л}{\partial ф} - \partial_{мю} \frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}}) дельта ф + \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф) + \partial_{мю} (л дельта {Икс}^{мю})]

$\int_\Omega d^4 x \left[\delta L +\color{red}{\left(\frac{\partial L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\right)\delta\phi}+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi\right)+\partial_\mu(L\delta x^\mu)\right]$

красный член равен нулю для уравнения Эйлера-Лагранжа. Итак, в конце

\int_{Ом} г^{4} Икс [дельта л + \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф + л дельта {Икс}^{мю})]

$\int_\Omega d^4 x \left[\delta L+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu\right)\right]$

что и будет вашим результатом после того, как вы запишете разницу между двумя лагранжианами.

Для полноты позвольте мне закончить доказательство, обнулив интеграл и отметив, что $\delta L$ может быть только полной производной $\delta L = \partial_\mu\delta \Lambda^\mu$ и получение

\int_{Ом} г^{4} Икс \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф + л дельта {Икс}^{мю} + дельта Λ^{мю}) "=" 0 ⟹ \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф + л дельта {Икс}^{мю} + дельта Λ^{мю}) "=" 0

$\int_\Omega d^4 x\, \partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu+\delta\Lambda^\mu\right) = 0 \implies \partial_\mu \left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu+\delta\Lambda^\mu\right) = 0$

Таким образом, сохраняющийся ток определяется выражением

{Дж}^{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial ф_{, мю}} дельта ф + л дельта {Икс}^{мю} + дельта Λ^{мю}

$J^\mu = \frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu+\delta\Lambda^\mu$

Обозначение:

Мне просто пришло в голову, что многие не знакомы с этим обозначением, которое заимствовано из общей теории относительности, поэтому я оставлю его здесь.

\partial_{мю} ф "=" ф_{, мю}

$\partial_\mu\phi = \phi_{,\mu}$

Почему не последний $L$ помечен после того, как вы сказали, что «что в первом заказе оставляет вас»? Также почему частная производная от якобиана применяется к произведению $\delta x^\mu L$ и не только к $\delta x^\mu$ ? Кстати спасибо за подробный ответ.
The $L$ не заправлен, так как $L^\prime = \Delta L + L$ что при умножении на $\partial_\mu\delta x^\mu$ оставляет вас только с $L$ не загрунтован, так как $\Delta L$ является вариацией первого порядка в $\delta$ а при умножении на элемент якобиана становится второго порядка, который вы не берете. Во-вторых, в $\partial_\mu\delta x^\mu L$ , производная применяется только к $\delta x^\mu$ , я очистил его на следующем шаге!
Понял...спасибо большое,помогло все прояснить...
В этом и других выводах, которые я видел, мне кажется, что $\alpha_{,\nu}$ в оригинале $L'$ на самом деле $\partial\alpha/\partial x_\nu$ (такой, что он равен $\phi_{,\nu}+\delta\phi_{,\nu}$ ) скорее, чем $\partial\alpha/\partial\xi_\nu$ (что равно $\phi_{,\nu}+\delta\phi_{,\nu}-\phi_{,\mu}\delta x_{\nu,\mu}$ при первом заказе). Почему последний срок, $\delta\phi_{,\nu}\delta x_{\nu,\mu}$ , пренебречь? (Кроме того, простите, что я занижаю все индексы; я недостаточно хорошо знаю правила, чтобы пытаться объяснить это.)

Вывод теоремы Нётер для полей

Тамир Веред

Ответы (1)

Колчан

Обозначение:

Тамир Веред

Колчан

Тамир Веред

Майкл М

Теорема Нётер с бесконечными параметрами

Уникальность определения тока Нётер

Как найти непрерывные преобразования, оставляющие действие неизменным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Теорема Нётер в классической теории поля Путаница

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?

Какие преобразования не являются симметриями лагранжиана?

Инвариантность действия против лагранжиана в теореме Нётер?

Переводы и теорема Нётер

Теорема Нётер: смысл преобразования координат