Построение инварианта лагранжиана взаимодействия при изоспиновых SU(2)SU(2)SU(2)-преобразованиях

Рассматриваемая здесь задача состоит, как следует из названия, в построении лагранжиана, инвариантного относительно С U ( 2 ) преобразования. Сначала я представлю контекст и причину моего вопроса, а затем сформулирую вопрос в конце.

Физическая задача состоит в том, чтобы построить простейший феноменологический лагранжиан прошлого века для NN-рассеяния через пионное взаимодействие с изоспиновой инвариантностью. Мы имеем здесь дело только с изоспиновой инвариантностью и не заботимся о лоренцевой симметрии.

Мы классифицируем три пиона как тройку пионов в С U ( 2 ) присоединенное представление, то есть векторное пространство с тремя измерениями (в дальнейшем мы будем писать представления как Dsomething). Также мы классифицируем протон и нейтрон как дублет С U ( 2 ) Д 1 / 2 представление, то есть двумерное пространство с п и н как базовые векторы.

В моем понимании (которое может быть ошибочным и тогда его следует исправить) построение инвариантного лагранжиана следует из построения внутри двух пространств представления Д 1 и Д 1 / 2 инварианты как из дублета, так и из триплета.

В представлении D1/2 мы имеем в качестве инварианта член ψ Т ψ , где ψ обозначает дублет, а T - символ кинжала.

Мои проблемы возникают, когда мне приходится смешивать этот термин с триплетом ф пионов в представлении D1. Если я просто возьму термин ψ Т ψ и поместите его как есть в репутации D1 и умножьте на ф У меня, конечно, нет инварианта (если учесть, что величина \psi ^T \psi остается в той же форме?).

Что я видел на практике, так это то, что следует брать термин Φ "=" т к ф к , а затем построить инвариант как л я н т "=" ψ Т Φ ψ "=" ψ Т ф к т к ψ . т — матрицы Паули в форме 2x2 как образующие группы SU(2).

Вопрос :

Чего я не понимаю, так это того, как этот термин инвариантен по построению в обоих пространствах представления. Это потому, что термин Φ это термин, который, как я понимаю, принадлежит не пространству D1, а пространству матриц 2x2, где генераторы имеют форму 2x2 и работают как базисные векторы. Что меня беспокоит (и, скорее всего, по неправильным причинам?), так это то, что таким образом мой инвариант не кажется принадлежащим двум пространствам представления.

Итак, чем оправдано это предписание? Нужно ли для построения инвариантов в обоих пространствах работать над пространством прямого произведения двух из них или нужно найти неприводимые представления и затем как-то там построить инвариант? Или работа должна основываться на бумагах:

Документы -

  1. S. Coleman, J. Wess and B. Zumino, Phys. 177, 2239 (1969).

  2. CG Callan, S. Coleman, J. Wess and B. Zumino, Phys. 177, 2247 (1969).

Или, в конце концов, нужно найти, как представить объекты представления D1/2 в представление D1, а затем построить инвариант. Очевидно, что где-то в дороге я заблудился. Только, пожалуйста, если это только задача нахождения неприводимых представлений прямого произведения D1 и D1/2 , поясните, как тогда должно строиться взаимодействие, и я буду работать над проблемой.

Примечание. Такие лагранжианы и дальнейшее обсуждение можно найти в таких статьях, как

  1. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370157374900088

  2. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157387800029

Кто-нибудь может предположить, почему за пост проголосовали? Если есть какой-то момент, который не ясен, я с радостью внесу комментарии или исправления. Спасибо.

Ответы (1)

Давайте объясним изоспин через размерности мультиплетов, которые лучше всего подсчитывают состояния, поэтому изоспинорный фермион является дублетом 2 , а изовекторный скаляр представляет собой триплет 3 , сопряженный.

Итак, поскольку 2 ⊗ 2 ⊗ 3 "=" 5 ⊕ 3 ⊕ 3 ⊕ 1 , и вас интересует только синглет члена лагранжевого взаимодействия, вы должны увидеть, насколько он ивариантен.

Генерическая SU(2) изоротация в определяющем (дублете, Д 1 / 2 ) представление U "=" опыт ⁡ я θ ⋅ т , явно унитарная, U † U "=" 1 1 .

При этом общем вращении

ψ ↦ U ψ , ψ † ↦ ψ † U † , ф ⋅ т ↦ U ф ⋅ т U † "=" ф ⋅ ( U т U † ) "=" ( ф − 2 θ × ф + . . . ) ⋅ т "=" "=" ф ⋅ ( т   потому что ⁡ ( 2 θ ) + θ ^ × т   грех ⁡ ( 2 θ ) + θ ^   θ ^ ⋅ т   ( 1 − потому что ⁡ ( 2 θ ) ) )   .
Последний член в скобках указывает, как триплеты τ s ( вектор Паули ) преобразуются друг в друга посредством преобразования подобия, т. е. как триплет, Д 1 , сопряженные индексы преобразуются в симметричной (триплетной) части 2 ⊗ 2 . (Это не что иное, как знаменитая [формула вращения Родригеса] .) Эта процедура поворота присоединенного вектора с помощью двойной операции над фундаментальными индексами насыщающего его вектора Паули вместо этого обобщает на все группы, поэтому в SU (3) КХД, например, где матрицы 8x8 были бы огромными и беспорядочными, но "вектор Гелл-Манна" 3x3 разреженный и управляемый.

Итак, очевидно,

ψ † U † U ф ⋅ т U † U ψ "=" ψ † ф ⋅ т ψ   ,
инвариант, ладно. На самом деле это ничем не отличается от составления угловых моментов двух спиноров с вектором и извлечения синглета.

Спасибо, профессор, я ценю ваш ответ и помощь. Мелкие вопросы: вы пишете 2x2x3, а не 2x3 для прямого произведения представлений; это потому, что у нас есть два изофермиона в рассеянии или потому что вы используете оба ψ и ψ кинжал?
Кроме того, можно ли сказать, что трансформация ф ⋅ т представляет собой вращение вектора, показывая, что абсолютное значение ф остается такой же; но в каком векторном пространстве происходит это вращение? Почему это вращение дает нам преобразование присоединенного вектора в фундаментальном представлении (или я неправильно понял)? И просто для уточнения: как и что теперь является термином в обоих пространствах представления, которые теперь инвариантны; или у нас теперь есть инварианты в другом пространстве? Еще раз, спасибо, и если есть какие-либо ссылки, где я мог бы учиться, пожалуйста, сообщите мне.
Два изоспинора, каждый в своем двухмерном пространстве, объединяются в трехмерный изовектор. ψ † т я ψ , точечный до изовектора фиксированной величины ф я чтобы получить изосинглет. Все изовращения находятся во внутреннем изоспиновом пространстве, но формально идентичны космическим вращениям. Вы узнаете о группе вращений в основных книгах по квантовой механике, где вы должны выполнить все упражнения с угловым моментом, чтобы понять основную теорию представления группы.
Могу ли я сказать, что преобразование подобия т к влечет за собой смену базиса в пространстве алгебры, так как алгебра изоморфна присоединенному представлению по определению последнего как отображения в алгебру? Итак, мы меняем основу с триплета φ на основу τ. Спасибо.
До определенного момента, вы могли бы. Но эта смена основы есть вращение, сработало обратное изовращение φ , которое вы видели.
Построение инварианта лагранжиана взаимодействия при изоспиновых SU(2)SU(2)SU(2)-преобразованиях
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v