Что на самом деле означает изоспиновый дублет SU(2)SU(2)\rm SU(2)?

Две частицы, образующие$SU(2)$дублет означает, что они превращаются друг в друга под$SU(2)$трансформация. Например, протон и нейтрон (которые образуют такой дублет) преобразуются как

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \xrightarrow{SU(2)} \exp \left( - \frac{ i }{ 2} \theta_a \sigma_a \right) \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \end{equation}$$ куда $\sigma _a$матрицы Паули. Оказывается, реальный мир подчиняется определенным свойствам симметрии. Например, уравнения, описывающие сильные взаимодействия протонов и нейтронов, приблизительно инвариантны относительно унитарных преобразований с определителем 1 (преобразование, показанное выше) между протоном и нейтроном. Этого не должно было быть, но оказалось, что это так. Поскольку сильное взаимодействие инвариантно относительно таких преобразований, каждый член взаимодействия в лагранжиане сильного взаимодействия сильно ограничен. Во-первых, это полезно, поскольку позволяет делать простые предсказания о протонных и нейтронных системах.

Чтобы лучше понять это преобразование и почему сохраняется симметрия. Рассмотрим лагранжиан КХД для верхних и нижних кварков (которые, как и для протона и нейтрона, также составляют изоспиновый дублет):

$$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{u,i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _u \delta _{ ij} \right) \psi _{u,j} + \bar{\psi} _{ d ,i} \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _d \delta _{ ij} \right) \psi _{d ,j}% \\ % & \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - M \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation}$$ куда $D ^\mu$является ковариантной производной и суммой по $i,j$является суммой по цвету. Обратите внимание, что если $m _{ u} \approx m _d \equiv m$мы можем записать этот лагранжиан в более удобной форме, $$\begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation}$$ куда $\psi \equiv \left( \psi _u \, \psi _d \right) ^T$. Этот лагранжиан теперь инвариантен относительно преобразований между верхними и нижними кварками («изоспин»), поскольку генераторы цвета коммутируют с генераторами изоспина. Поскольку протон и нейтрон различаются только соотношением верхних и нижних кварков (точнее, их квантовые числа соответствуют квантовым числам $uud$а также $udd$соответственно), мы ожидаем, что эти частицы будут вести себя очень похоже, когда КЭД можно пренебречь (что часто бывает, потому что КЭД намного слабее, чем КХД при низких энергиях).

В качестве явного примера использования симметрии рассмотрим реакции:

$$\begin{align} & 1) \quad p p \rightarrow d \pi ^+ \\ & 2) \quad p n \rightarrow d \pi ^0 \end{align}$$ куда $d$представляет собой дейтерий, изоспиновый синглет, а пионы образуют изоспиновый триплет. Для первого взаимодействия начальное изоспиновое состояние равно $\left| 1/2, 1/2 \right\rangle \otimes \left| 1/2, 1/2 \right\rangle = \left| 1, 1 \right\rangle$. Продукты имеют изоспин $\left| 0,0 \right\rangle \otimes \left| 1,1 \right\rangle = \left| 1,1 \right\rangle$. Второе взаимодействие имеет начальное изоспиновое состояние, $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| 0,0 \right\rangle + \left| 1,0 \right\rangle \right)$, и конечный изоспин, $\left| 0,0 \right\rangle$.

Поскольку оба случая имеют некоторое перекрытие между волновыми функциями изоспина, оба могут продолжаться. Однако второй процесс имеет коэффициент подавления$1/ \sqrt{2}$при сжатии изоспиновых волновых функций. Чтобы получить вероятности, это нужно будет возвести в квадрат. Таким образом, можно сделать вывод,

$$\begin{equation} \frac{ \mbox{Rate of 1} }{ \mbox{Rate of 2}} \approx 2 \end{equation}$$

Обратите внимание, что даже ничего не зная о специфике системы, мы смогли сделать очень мощный прогноз. Все, что нам нужно было знать, это то, что процесс происходит посредством КХД.

Я не знаю, какой фон вы приводите к вопросу. Так что, рискуя показаться покровительственным, позвольте мне дать приземленный ответ. Интересно, поможет ли это.

---

Подумайте о вращениях на (реальной) двумерной плоскости.$\mathbb{R}^2$. Вы можете повернуть ось X на ось Y, а ось Y на отрицательную ось X. Эта группа 2d вращений называется$SO(2)$. Обратите внимание, что здесь каждая ось состоит из множества действительных чисел. Если вместо этого каждая ось соответствовала бы набору комплексных чисел, то мы имели бы комплексную плоскость 2d$\mathbb{C}^2$. Вращения в этой плоскости соответствовали бы группе$SU(2)$и вы можете думать о протонах и нейтронах (точнее, об их волновых функциях) как о базовых элементах, образующих две оси в этом$\mathbb{C}^2$пространство. « Дублет» означает наличие двух осей.

Этот$\mathbb{C}^2$относится не к реальным физическим размерам, а просто к некоторым свойствам протонов и нейтронов.

Я затрудняюсь объяснить «значение» этого, если не считать того, что так ведет себя природа. Одним из следствий является тот факт, что протон и нейтрон имеют примерно равные массы, потому что, помимо того, что они имеют разные оси, соответствующие этому свойству, в остальном они должны быть очень похожи.

Обычно, когда вы пишете волновую функцию (частицы), вы концентрируетесь на ее пространственном профиле (во вводной квантовой механике) и пренебрегаете другими свойствами, которые ее характеризуют. Точно так же каждая частица также несет волновую функцию, соответствующую любой другой характеристике, и полное описание включает в себя запись всех волновых функций (вы можете «умножить» волновые функции, соответствующие всем различным свойствам, если это того стоит). Точно так же, как вы могли видеть операторы, действующие на пространственную часть волновой функции, у вас также будут операторы, действующие на волновую функцию, соответствующую каждому свойству.