Являются ли матрицы вращения точными представлениями группы вращений?

Учитывая неотрицательное целое число$j\in\mathbb{N}_0$, спин-$j$ групповое представление /гомоморфизм

$$\rho: SO(3)~\to~ GL(2j+1,\mathbb{R})$$

является точным / инъективным тогда и только тогда, когда$j>0$, но с технической точки зрения никогда не является изоморфизмом групп, поскольку никогда не бывает сюръективным,

$${\rm Im}(\rho)~\subsetneq~ GL(2j+1,\mathbb{R}) .$$

Да, в том смысле, что

$$R(\Omega_1)\cdot R(\Omega_2)= R(\Omega_1\cdot \Omega_2) \Rightarrow \sum_m D^{j}_{m_1m}(\Omega_1)D^j_{mm_2}(\Omega_2) =D^j_{m_1m_2}(\Omega_1\cdot \Omega_2)$$ действует для любого $j$, хотя, конечно, найдя аналитически $\Omega_1\cdot\Omega_2$по тройкам параметров $\Omega_1$и $\Omega_2$обычно грязный.

Дело$j=1$является определяющим представлением, поэтому матрицы, которые вы получаете, идентичны матрицам, полученным путем геометрического построения вращений в трехмерном пространстве. (обычно$D$находятся в сферической основе, поэтому вам необходимо учитывать комбинации$\hat x\pm i\hat y$как базисные векторы.

Один из способов понять, почему это так, состоит в том, что матрицы вращения являются экспонентами алгебры$\{J_x,J_y,J_z\}$, что точное представление алгебры$(2j+1)\times (2j+1)$матрицы также будут возведены в степень до точного представления (той же размерности) группы.