Поверхностная гравитация черной дыры Керра

Question

Поверхностная гравитация черной дыры Керра

dingo_d

Я просматриваю метрику Керра и, следуя выводу поверхностной гравитации с помощью «релятивистского инструментария», я пришел к части, которую не понимаю.

Во-первых, метрика задается

г с^{2} знак равно (\frac{Σ}{р^{2}} {грех}^{2} θ ю^{2} - \frac{р^{2} Δ}{Σ}) г т^{2} - 2 \frac{Σ}{р^{2}} {грех}^{2} θ ю г ф г т + \frac{Σ}{р^{2}} {грех}^{2} θ г ф^{2} + \frac{р^{2}}{Δ} г р^{2} + р^{2} г θ^{2}

$\mathrm{d}s^2=\left(\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta\omega^2-\frac{\rho^2\Delta}{\Sigma}\right)\mathrm{d}t^2-2\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta\omega \mathrm{d}\phi \mathrm{d}t+\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2+\frac{\rho^2}{\Delta}\mathrm{d}r^2+\rho^2 \mathrm{d}\theta^2$

С

р^{2} знак равно р^{2} + а^{2} {потому что}^{2} θ, Δ знак равно р^{2} - 2 М р + а^{2},

$\rho^2=r^2+a^2\cos^2\theta,\quad \Delta=r^2-2Mr+a^2,$

Σ знак равно (р^{2} + а^{2})^{2} - а^{2} Δ {грех}^{2} θ, ю знак равно \frac{2 М а р}{Σ}

$\Sigma=(r^2+a^2)^2-a^2\Delta\sin^2\theta,\quad \omega=\frac{2Mar}{\Sigma}$

Вектор Киллинга, равный нулю на горизонте событий, равен

х^{мю} знак равно \partial_{т} + {Ом}_{ЧАС} \partial_{ф}

$\chi^\mu=\partial_t+\Omega_H\partial_\phi$

куда $\Omega_H$ – угловая скорость на горизонте.

Теперь я получил ту же норму вектора Киллинга

х^{мю} х_{мю} знак равно {грамм}_{мю ν} х^{мю} х^{ν} знак равно \frac{Σ}{р^{2}} {грех}^{2} θ ({Ом}_{ЧАС} - ю)^{2} - \frac{р^{2} Δ}{Σ}

$\chi^\mu\chi_\mu=g_{\mu\nu}\chi^\mu\chi^\nu=\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta(\Omega_H-\omega)^2-\frac{\rho^2\Delta}{\Sigma}$

И теперь я должен использовать это уравнение

\nabla_{ν} (- х^{мю} х_{мю}) знак равно 2 κ х_{ν}

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)=2\kappa\chi_\nu$

А мне нужно смотреть на горизонт. Теперь на горизонте $\omega=\Omega_H$ так что мой первый член в норме нулевой, но, на горизонте $\Delta=0$ тоже, так как же они получают эту сторону, и как они получают

\nabla_{ν} (- х^{мю} х_{мю}) знак равно \frac{р^{2}}{Σ} \nabla_{ν} Δ

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)=\frac{\rho^2}{\Sigma}\nabla_\nu\Delta$

если $\Delta=0$ на горизонте? С $\rho$ а также $\Sigma$ оба зависят от $r$ , и даже если я оцениваю их в $r_+=M+\sqrt{M^2-a^2}$ они не отменяют друг друга.

Как они достигают конечного результата $\kappa$ ?

Джерри Ширмер

Вам нужно сделать это в системе координат, которая не является единственной на горизонте.

dingo_d

Значит, о координатах Бойера-Линдквиста не может быть и речи? :\ Но у меня сложилось впечатление, что расчет делается в BL :\

dingo_d

Теперь я увидел в книге «Черные дыры: введение», что я должен использовать входящие координаты Керра :\

Тримок

@dingo_d: я вижу формулу

\begin{aligned} κ^{2} = - \frac{1}{2} (\nabla^{a} χ^{b}) (\nabla_{a} χ_{b}) \end{aligned}

$\begin{align} \kappa^2 = -\frac{1}{2} \left ( \nabla^a \chi^b \right ) \left ( \nabla_a \chi_b \right ) \end{align}$ , в этой заметке , где цитируется Вальд (12.5.14), и эта формула работает со стандартной метрикой Шварцшильда, даже если эта метрика сингулярна на горизонте.

dingo_d

Ну, там написано, что эта формула следует из той, что я привёл, так что она должна работать. Я пытаюсь с входящими координатами Керра, но я никуда не встаю. Я попробую с этим и посмотрю, куда это меня приведет.

dingo_d

Мне все еще не повезло :\ Я пробовал в BL и входящем Керре, и я просто не могу воспроизвести этот результат. При использовании формулы с

κ^{2}

$\kappa^2$ Мне нужно снизить индекс ковариантной производной и вектора

χ_{b}

$\chi_b$ вверх, верно?

Граиш Кумар

@dingo_d Вы должны взять производную от своего выражения для

χ^{μ} χ_{μ}

$\chi^{\mu} \chi_{\mu}$ прежде чем вы подставите значения для количеств на горизонте.

Проф Шонку

@dingo_d Я прохожу тот же расчет. Однако я не мог понять, как написано, что на горизонте

ξ_{α} = (1 - a Ω_{H} \sin^{2} θ) \partial_{α} r

$\xi_\alpha=(1-a\Omega_H \sin^2 \theta)\partial_\alpha r$ . Как получить этот срок?

dingo_d

Это было давно, и я больше не занимаюсь физикой, поэтому я действительно не мог ответить вам с уверенностью :\

Ответы (4)

Поверхностная гравитация черной дыры Керра

Вам нужно сделать это в системе координат, которая не является единственной на горизонте.
Значит, о координатах Бойера-Линдквиста не может быть и речи? :\ Но у меня сложилось впечатление, что расчет делается в BL :\
Теперь я увидел в книге «Черные дыры: введение», что я должен использовать входящие координаты Керра :\
@dingo_d: я вижу формулу $\begin{align} \kappa^2 = -\frac{1}{2} \left ( \nabla^a \chi^b \right ) \left ( \nabla_a \chi_b \right ) \end{align}$ , в этой заметке , где цитируется Вальд (12.5.14), и эта формула работает со стандартной метрикой Шварцшильда, даже если эта метрика сингулярна на горизонте.
Ну, там написано, что эта формула следует из той, что я привёл, так что она должна работать. Я пытаюсь с входящими координатами Керра, но я никуда не встаю. Я попробую с этим и посмотрю, куда это меня приведет.
Мне все еще не повезло :\ Я пробовал в BL и входящем Керре, и я просто не могу воспроизвести этот результат. При использовании формулы с $\kappa^2$ Мне нужно снизить индекс ковариантной производной и вектора $\chi_b$ вверх, верно?
@dingo_d Вы должны взять производную от своего выражения для $\chi^{\mu} \chi_{\mu}$ прежде чем вы подставите значения для количеств на горизонте.
@dingo_d Я прохожу тот же расчет. Однако я не мог понять, как написано, что на горизонте $\xi_\alpha=(1-a\Omega_H \sin^2 \theta)\partial_\alpha r$ . Как получить этот срок?
Это было давно, и я больше не занимаюсь физикой, поэтому я действительно не мог ответить вам с уверенностью :\

Хирургический командир · Answer 1

Вычисления в этой системе координат вполне можно выполнить, даже если она не простирается за горизонт. Поверхностная гравитация очень часто вычисляется в системах координат, которые плохо работают на горизонте. Например, поверхностная гравитация Шварцшильда

$ds^2 = -f dt^2 + f^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega_2^2, \qquad f= 1- \frac{r_+}{r},$

легко найти $\kappa = \frac{f'}{2} = \frac{1}{2r_+}$ .

Я думаю, ваша проблема в том, что вы оцениваете количество на горизонте , прежде чем брать производные. Важно сначала взять производные, а затем оценить на горизонте.

Вы можете использовать *emphasis word*для создания курсива , не нужно использовать \textit{}здесь.
То, как вы получаете это $\kappa = \frac{f'}{2}$ для черной дыры Шварцшильда принципиально зависит от изменения системы координат на координаты EF, чтобы она была четко определена на горизонте.

Тед Джейкобсон · Answer 2

Вы правы, что $(\Omega_H-\omega)^2$ срок не способствует. Это потому, что это квадрат чего-то, что исчезает на горизонте: когда вы берете производную, остается исчезающий множитель. Что касается другого термина, поскольку $\Delta$ исчезает на горизонте, этот член исчезает, за исключением случаев, когда производная достигает $\Delta$ . Это дает последнюю формулу, которую вы написали.

Парта Пол · Answer 3

\nabla_{ν} (- х^{мю} х_{мю}) знак равно \partial_{ν} (- х^{мю} х_{мю}) знак равно \frac{р^{2}}{Σ} \partial_{ν} Δ + Δ \partial_{ν} (\frac{р^{2}}{Σ}) - ({Ом}_{ЧАС} - ю)^{2} \partial_{ν} (\frac{Σ {грех}^{2} θ}{р^{2}})

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu) =\partial_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)\\ =\frac{\rho^2 }{\Sigma}\partial_\nu \Delta + \Delta \partial_\nu(\frac{\rho^2 }{\Sigma})-(\Omega_H -\omega)^2 \partial_\nu(\frac{\Sigma\sin^2{\theta}}{\rho^2})$

Теперь используйте условие горизонта, которое вы получите

\nabla_{ν} (- х^{мю} х_{мю}) знак равно \frac{р^{2}}{Σ} \partial_{ν} Δ

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)=\frac{\rho^2 }{\Sigma}\partial_\nu \Delta$

С $\chi^\mu$ является нулевым на горизонте, а нулевой вектор нормален к себе, поэтому $\chi^\mu$ должна быть пропорциональна нормали горизонта. Постоянная поверхность r имеет нормаль $\partial_\mu{r}$ . Так

х_{мю} знак равно С \partial_{мю} р

$\chi_{\mu}=C\partial_\mu{r}$ Теперь наша задача найти C. Его легко найти

{грамм}^{мю ν} х_{мю} х_{н ты} знак равно С^{2} {грамм}^{мю ν} \partial_{мю} р \partial_{ν} р знак равно С^{2} {грамм}^{р р}

$g^{\mu\nu}\chi_{\mu}\chi_{nu}=C^2g^{\mu\nu}\partial_\mu{r}\partial_\nu{r}\\ =C^2g^{rr}$

Так

С^{2} знак равно \frac{х^{мю} х_{мю}}{{грамм}^{р р}}

$C^2=\frac{\chi^{\mu}\chi_{\mu}}{g^{rr}}$

Итак, после того, как алгебра сделана, возьмите предел горизонта, и вы найдете C. Остальное - всего лишь несколько строк алгебры.

я пытался вычислить $C^2$ . Теперь, когда оба $\chi^\mu \chi_\mu$ а также $g^{rr}$ нулевые на горизонте я использовал L'Hospital. Но конечный результат дает $C^2<0$ . Не подскажете как рассчитать?
Я не думаю, что это работает, вам только гарантируют, что $\xi_\mu$ пропорциональна $\partial_\mu r$ на горизонте событий, вдали от него, они фактически непропорциональны ( $\partial_\mu r$ является пространственноподобным вектором вне черной дыры, а $\xi_\mu$ является времениподобным). Это означает, что взятие предела из-за пределов горизонта в горизонт недопустимо. Как отметил @ProfShonku, вы получаете $C^2 < 0$ что не разумно.

dingo_d · Answer 4

Хорошо, в каждой книге, которую я смотрел, это решалось путем рассмотрения четырех скоростей и четырех ускорений свободной частицы на горизонте, так что это должно быть так :\ Хотя я уверен, что есть способ сделать это с помощью вектора Киллинга. $\chi^\mu=\partial_t+\Omega_H\partial_r$ .

Так что я просто пройду этот вывод с ускорением...

Вывод прост с вектором убийства, если ваша система координат не сингулярна. См. систему координат, данную Хокингом и Эллисом.

Поверхностная гравитация черной дыры Керра

dingo_d

Джерри Ширмер

dingo_d

dingo_d

Тримок

dingo_d

dingo_d

Граиш Кумар

Проф Шонку

dingo_d

Ответы (4)

Хирургический командир

Кайл Канос

Филипе Мигель

Тед Джейкобсон

Парта Пол

Проф Шонку

Филипе Мигель

dingo_d

Джерри Ширмер

Гравитация на горизонте событий сверхмассивной черной дыры

Разве черные дыры не должны оказывать такое же гравитационное воздействие, как и объекты с такой же массой, но меньшей плотностью?

Синее смещение вблизи горизонта Schwarzschild BH

Слияние бинарных черных дыр, вид изнутри горизонта событий

Что произойдет, если отрицательная масса пересекла горизонт событий черной дыры?

Насколько велика сила над горизонтом черной дыры?

Комплексный горизонт событий черной дыры Керра?

Всегда ли для удаленного наблюдателя обратима траектория объекта, падающего в сторону черной дыры?

Горизонт событий вращающейся черной дыры

Поверхностная гравитация и масса черной дыры