Синее смещение вблизи горизонта Schwarzschild BH

Поработав некоторое время с геометрией Шварцшильда, я понял кое-что, чего раньше не замечал и что меня немного тревожило. Рассмотрим 4-мерную метрику Шварцшильда:

$$ds^2 = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1- \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2 ~,$$

и предположим, что два наблюдателя удерживаются в фиксированных пространственных положениях.$(R_1, 0, 0)$и$(R_2,0,0)$, с$R_2 > R_1 > 2M$(используя какую-нибудь негравитационную систему, скажем, ракеты, сжигающие топливо). Это типичная ситуация для изучения гравитационного красного смещения, когда внутренний наблюдатель посылает сигналы, разделенные$\Delta \tau_1$(по его меркам, т.е.$\tau_1$это правильное время на его мировой линии). Знаменитый результат:

$$\Delta \tau_2 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_2}}{1-\frac{2M}{R_1}}} \Delta \tau_1 ~~, \hspace{1cm} \nu_2 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_1}}{1-\frac{2M}{R_2}}} \nu_1 ~,$$

где мы думаем с точки зрения периода этих сигналов в последнем выражении. Если внутренний наблюдатель приближается$R_1 \to 2M$, мы получаем бесконечное красное смещение с точки зрения внешнего наблюдателя. У меня такой вопрос: что произойдет, если вместо предыдущей ситуации внешний наблюдатель пошлет сигнал внутреннему? Очевидно, мы получаем синее смещение (анализ тот же), и это синее смещение становится сколь угодно большим, когда$R_1 \to 2M$, так как все еще верно, что:

$$\nu_1 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_2}}{1-\frac{2M}{R_1}}} \nu_2 ~,$$

и мы держим$\nu_2$постоянный сейчас. Мне это кажется странным по нескольким причинам:

• Кажется, что низкоэнергетические возбуждения (скажем, фотоны), посылаемые внешним наблюдателем внутреннему, могут становиться сколь угодно энергичными при получении внутренним наблюдателем. Так что в некотором смысле нам нужно знать детали физики высоких энергий, чтобы работать вблизи горизонта.
• Сначала я думал, что держать наблюдателя на фиксированной$r$близко к горизонту без движения в пространстве было в каком-то смысле нефизическим (может быть, гравитационные приливные силы становятся настолько большими, что это невозможно сделать). Но, в принципе, при большой массе горизонт на$r = 2 M$не место, где гравитационные силы становятся такими сильными (в ньютоновском приближении,$F \sim M / r^2 \sim 1/M$то, что, кажется, я где-то видел более строго обоснованным в рамках ОТО, заметив, что компоненты тензора Римана в локальной инерциальной системе отсчета не расходятся при$r = 2M$).

Я подумал, что, возможно, приведенное выше определение частоты сложно, поэтому я также попытался вычислить энергию фотона с четырехкратным импульсом.$k$с формулой$E_{obs} = - k \cdot U_{obs}$,$U_{obs}$являющейся четырехскоростной скоростью наблюдателя. Это расходится и для фотона, посланного из бесконечности с конечной энергией (фактически получается то же выражение, что и раньше), так что ничего нового. Это реальная проблема или я переоцениваю последствия этого бесконечного синего смещения? [Ради полноты, мой страх перед бесконечным синим смещением исходит из некоторых дискуссий, которые я читал о стабильности горизонтов. В частности, при рассмотрении вращающихся или заряженных черных дыр имеется внутренний горизонт, который портит некоторые приятные черты, которые ожидаются от физических решений, такие как предсказуемость. В этом случае я нашел убедительным тот факт, что возмущения, посылаемые извне черной дыры, произвольно смещаются в голубую сторону, когда достигают внутреннего горизонта. так что, может быть, этот горизонт неустойчив и возникает только как следствие высокой степени симметрии наших точных решений — тем самым они не нарушают жесткой космической цензуры]. Есть идеи или мысли по этому вопросу?