Правильно ли определена одновременность в общей теории относительности?

Одновременность не имеет абсолютно никакого значения в ОТО. В СТО мы говорим, что одновременность относительна и ей нельзя доверять. В GR мы даже не говорим об этом. Иногда вы можете поймать кого-то на слове «одновременный», но это не означает то, что вы думаете. В ОТО вы можете взять любое событие, любую систему отсчета, любой набор значений и определить произвольную временную координату, которая расщепляет пространство-время так, что почти все становится «одновременным». Затем вы можете изменить шкалу, и все понятие временных сдвигов изменится.

Что мы обычно делаем, так это выбираем метрику с некоторым координатным временем. Тогда мы можем «сказать», что все события в одно и то же координатное время являются «гиперповерхностью постоянного времени», что является эквивалентом «одновременности» в ОТО. Однако вы можете выбрать другое значение, зависящее от времени. Например, в инфляционной космологии у нас может быть метрика с некоторым координатным временем,$t$, и поле инфлатона,$\phi$. Мы могли бы развиваться через инфляцию по отношению к постоянному$t$гиперповерхности, но тогда мы называем время, когда$\phi$достигает некоторого значения, соответствующего окончанию инфляции, чтобы быть одновременным, даже если оно не является постоянным$t$гиперповерхность. Мы делаем это, потому что хотим сказать, что инфляция заканчивается везде одновременно, а это значит, что теперь мы определяем константу$\phi$гиперповерхность как одновременная. Это даже не разница в системах отсчета, все, что нам нужно сделать, это выбрать другой датчик для нашей метрики, и мы можем определить новую концепцию одновременности.

Итак, отвечая на ваш вопрос, нет, одновременность — бессмысленная идея в искривленном пространстве. Мы используем постоянные гиперповерхности; мы выбираем параметр, который имеет желаемое расслоение пространства-времени, а затем разрезаем пространство-время так, чтобы каждая точка этого среза имела одно и то же значение выбранного параметра.

Вы можете произвольно определить координатное время и считать его постоянные гиперповерхности одновременными, но это еще менее значимо, чем в СТО.

Скажем, у нас есть конгруэнтность наблюдателей с некоторым 4-скоростным полем$u^{\alpha}$. Локально у каждого наблюдателя есть плоскость одновременности, определяемая соглашением Эйнштейна о синхронизации, как и в СТО. Теперь, если эти наблюдатели могут Эйнштейн синхронизировать свои часы со своими бесконечно малыми соседями, мы можем «склеить» эти локальные плоскости одновременности вместе, чтобы создать однопараметрическое семейство глобальных поверхностей одновременности с глобальной временной координатой, с которой согласны все наблюдатели в конгруэнтности.

Это, насколько мне известно, ближе всего к обычному понятию одновременности в инерциальных системах отсчета в СТО. Имейте в виду, что это не является чем-то особенным для GR; можно столкнуться с тонкостями одновременности, например, даже во вращающихся кадрах в SR.

В любом случае, условием существования такого слоения является обычное условие Фробениуса:$u_{[\alpha}\nabla_{\beta}u_{\gamma]} = 0$.

Я считаю, что есть несколько возможных вариантов, но не очевидно, какой из них правильный.

Можно говорить о поверхностях, которые всюду ортогональны времениподобному полю Киллинга.

Если нет времениподобного поля Киллинга, вы всегда можете говорить о поверхности, геодезически порожденной времениподобным вектором в точке$p$: множество точек на геодезических, проходящих через$p$которые ортогональны этому вектору.

Я считаю, что оба определения дают вам плоскости одновременности в плоском пространстве-времени Минковского, но они могут разойтись в более общем контексте.

(Иногда говорят о поверхностях Коши — поверхностях, которые пересекают каждую времениподобную или нулевую кривую ровно один раз. Но они не эквивалентны плоскостям одновременности в пространстве Минковского.)

«Одновременность» имеет четко определенное техническое значение как в СТО, так и в ОТО.

Я имею в виду «соглашение Эйнштейна для определения одновременности», а именно набор событий, которые рассматривает наблюдатель.$O$как происходящее одновременно с данным эталонным событием на его мировой линии. Ответ @FenderLesPaul говорит об этом более утонченным математическим способом.

Одновременность в ОТО является обобщением той же концепции в СТО: задан наблюдатель$O$, можно определить трехмерное пространство, подобное подмногообразию, называемому «настоящее$O$" (это многообразие, ортогональное 4-скорости наблюдателя$O$). События в настоящем$O$являются «одновременными» (не одновременными в абсолютном смысле, но одновременными согласно$O$).

В ОТО «настоящее» отдельного наблюдателя определяется «в его окрестности»: поскольку пространство-время ОТО локально плоское, та же конструкция СТО применяется в так называемом «касательном пространстве». Если вы хотите распространить концепцию везде (не только в окрестностях$O$), то нужно целое семейство наблюдателей (а именно, семейство мировых линий, удовлетворяющих условию Фробениуса).

Чтобы копнуть больше, я предлагаю вам взглянуть на «3.2 Наблюдатели, факторы Лоренца и относительные скорости» здесь: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0603009