Уравнение Шредингера из уравнения Клейна-Гордона?

Я думаю, вы смешиваете две разные вещи:

1. Во-первых, вы можете рассматривать QM как$0+1$(одно временное измерение) КТП, в которой операторы положения (и сопряженные им импульсы) в картине Гейзенберга играют роль полей (и сопряженных им импульсов) в КТП. Вы можете проверить, например, что пространственная вращательная симметрия в квантово-механической теории переводится во внутреннюю симметрию в КТП.

2. Во-вторых, вы можете взять «нерелятивистский предел» (кстати, уродливое название, потому что относительность Галилея так же релятивистка, как и специальная теория относительности) теории Клейна-Гордона или Дирака, чтобы получить «нерелятивистскую» КТП Шредингера, где$\phi$(в ваших обозначениях) — это квантовое поле, а не волновая функция. В книге Средненицкого есть глава, где этот вопрос поставлен просто и красиво. Там же можно прочитать о теореме о спиновой статистике и о волновой функции многочастичных состояний. Позвольте мне добавить несколько уравнений, которые, надеюсь, прояснят это (я использую ваши обозначения и, конечно, могут быть неправильные коэффициенты, единицы и т. д.):

Квантовое поле:

$$\phi \sim \int d^3p \, a_p e^{-i(p^2/(2m) \cdot t - p \cdot x)}$$

Гамильтониан это:

$$H \sim i\int d^3x \left( \phi^{\dagger}\partial_t \phi - \frac{1}{2m}\partial _i \phi ^{\dagger} \partial ^i \phi \right) \, \sim \int d^3p \, \frac{p^2}{2m} \,a^{\dagger}_p a_p$$

Эволюция квантового поля определяется выражением:

$$i\partial _t \phi \sim [\phi, H] \sim -\frac{\nabla ^2 \phi}{2m}$$

1-частичные состояния задаются:

$$|1p\rangle \sim \int d^3p \, \tilde f(t,p) \, a^{\dagger}_p \, |0\rangle$$

(аналогично можно определить многочастичные состояния)

Это состояние подтверждает уравнение Шрёдингера:

$$H \, |1p\rangle=i\partial _t \, |1p\rangle$$ если

$$i\partial _t \, f(t,x) \sim -\frac{\nabla ^2 f(t,x)}{2m}$$

где$f(t,x)$является пространственным преобразованием Фурье$\tilde f (t,p)$.

$f(t,x)$является волновой функцией, а$\phi (t, x)$является квантовым полем.

Это свободная теория, аналогичным образом можно добавить взаимодействие.

В этот ответ мы включаем для ясности правильные факторы$\hbar$и$c$в расчетах в главе III.5 КТП Зи в двух словах.

$$\Phi(\vec{x},t)~=~\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\exp\left(-\frac{imc^2t}{\hbar}\right)\phi(\vec{x},t).\tag{4}$$

Свободная плотность лагранжиана Клейна-Гордона равна

$$\begin{align} {\cal L} ~=~&\left|\frac{1}{c}\partial_t \Phi\right|^2 - |\nabla \Phi|^2 -|\frac{mc}{\hbar}\Phi|^2\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\left|\left(\frac{\hbar}{c\sqrt{2m}}\partial_t-ic\sqrt{\frac{m}{2}}\right) \phi\right|^2 - \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2 -\frac{mc^2}{2}|\phi|^2\cr ~=~&\left|\frac{\hbar}{c\sqrt{2m}}\partial_t\phi\right|^2 +\frac{i\hbar}{2}\left(\phi^{\dagger}\partial_t\phi-\partial_t \phi^{\dagger}\phi \right)- \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2 \cr ~\longrightarrow& \frac{i\hbar}{2}\left(\phi^{\dagger}\partial_t\phi-\partial_t \phi^{\dagger}\phi \right)- \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2\quad {\rm for }\quad c~\to~\infty. \end{align} \tag{5}$$ Последнее выражение представляет собой свободную плотность лагранжиана Шредингера (с точностью до полных производных по пространству-времени), ср. например, этот пост Phys.SE.