Как вывести теорию квантовой механики из квантовой теории поля?

Поле и волновая функция кажутся похожими, но на самом деле они мало связаны друг с другом. Суть области состоит в том, чтобы сгруппировать операторы рождения и уничтожения удобным способом, который мы можем использовать для построения наблюдаемых. Как обычно начну с бесплатной теории.

Если мы хотим найти связь с нерелятивистской квантовой механикой, уравнение поля — не тот путь. Скорее, мы должны смотреть на состояния и гамильтониан, которые являются основными составляющими уравнения Шредингера. Сначала рассмотрим гамильтониан. Обычная процедура состоит в том, чтобы начать с лагранжиана для свободного скалярного поля, перейти к гамильтониану, записать поле в терминах$a$а также$a^\dagger$, и подключите его к$H$. Я предполагаю, что вы все это знаете (это делается в каждой главе о вторичном квантовании в каждой книге QFT), и просто используйте результат:

$$H = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, \omega_p\, a^\dagger_p a_p$$

куда$\omega_p = \sqrt{p^2+m^2}$. Есть еще оператор импульса$P_i$, что оказывается

$$P_i = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, p_i\, a^\dagger_p a_p$$

Используя коммутационные соотношения, легко вычислить квадрат импульса, который нам понадобится позже:

$$P^2 = P_i P_i = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, p^2\, a^\dagger_p a_p + \text{something}$$

куда$\text{something}$дает нуль при применении к состояниям одной частицы, потому что у него есть два оператора уничтожения рядом друг с другом.

Теперь давайте посмотрим, как взять нерелятивистский предел. Будем считать, что мы имеем дело только с одночастичными состояниями. (Я не знаю, насколько это потеря общности; свободная теория не меняет число частиц, так что это не должно иметь большого значения, а также мы обычно предполагаем фиксированное число частиц в обычной КМ.) Скажем, что в картине Шредингера мы имеем состояние, которое в какой-то момент записывается как$|\psi\rangle = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} f(k) |k\rangle$, куда$|k\rangle$есть состояние с трехимпульсным$\mathbf{k}$.$f(k)$должен быть ненулевым только для$k \ll m$. Теперь посмотрите, что произойдет, если мы применим гамильтониан. Поскольку у нас небольшой импульс, в диапазоне интегрирования мы можем аппроксимировать$\omega_p$в качестве$m+p^2/2m$и игнорировать постоянную энергию покоя$m$.

$$H|\psi\rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} a^\dagger_p a_p \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} f(k) |k\rangle \\ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} f(k) a^\dagger_p a_p |k\rangle \\ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} f(k) (2\pi)^3 \delta(p-k) |k\rangle \\ = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{k^2}{2m} f(k) |k\rangle = \frac{P^2}{2m} |\psi\rangle$$

Так что если$|\psi\rangle$является любым одночастичным состоянием (которым оно и является, потому что состояния с определенным импульсом образуют основу), мы имеем, что$H|\psi\rangle = P^2/2m |\psi\rangle$. Другими словами, на пространстве одночастичных состояний$H = P^2/2m$. Уравнение Шредингера по-прежнему справедливо в КТП, поэтому мы можем сразу написать

$$\frac{P^2}{2m} |\psi\rangle = i \frac{d}{dt} |\psi\rangle$$

Это уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы. Вы заметите, что я сохранил некоторые концепции из КТП, особенно операторы создания и уничтожения. Вы можете сделать это без проблем, но работая с$a$а также$a^\dagger$в квантовой механике не особенно полезен, потому что они создают и уничтожают частицы, а мы предположили, что энергии недостаточно для этого.

Обработка взаимодействий более сложна, и я полностью признаю, что не знаю, как включить их сюда естественным образом. Я думаю, что часть проблемы заключается в том, что взаимодействия в QFT весьма ограничены по своей форме. Нам пришлось бы начать с полного лагранжиана КЭД, удалить$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$термин, поскольку нас не интересует динамика самого ЭМ поля, возможно, установить$A_i = 0$если нас не интересуют магнитные поля, и посмотрим, что произойдет с гамильтонианом. Сейчас мне не до задачи.

Я надеюсь, что смогу убедить вас, что этот новомодный формализм осмысленным образом сводится к QM. Примечательно то, что сами поля не несут большого физического смысла; это просто удобные инструменты для установки нужных нам состояний и вычисления корреляционных функций. Я узнал об этом, читая Вайнберга; если вас интересуют такие вопросы, я рекомендую вам сделать это после того, как вы освоитесь с QFT.

Я не уверен, как вы вбили эту цель в свою голову: почти наверняка это не то, что вы говорите вам во вступительном тексте о втором квантовании. В Википедии есть приличное резюме моста между КТП и КМ, а именно теория реального скалярного поля ; многомерный квантовый осциллятор ; решетчатые фононные осцилляторы .

Квантовое поле 1+1$\psi$вы написали, это оператор, разрешимый для

$$\psi(x)=\frac{1}{2\pi} \int dk ~e^{ikx} \phi_k= \frac{1}{2\pi} \int dk ~e^{ikx} (a_k+a_k^\dagger ) \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_k}}~,$$ где я использую более традиционную букву φ для оператора поля, преобразованного Фурье, и сокращение $\omega_k=\sqrt{k^2+m^2}$из соотношения дисперсии KG, которое вы постулируете.

Итак, квантовое поле, которое вы пишете, представляет собой линейную комбинацию бесконечного числа нормальных режимов.$a_k$и их сопряженные для бесконечности абстрактных условных связанных осцилляторных операторов на одномерной решетке.

Соотношение коммутации оператора поля эквивалентно стандартному соотношению коммутации для каждого такого осциллятора, помеченного k , и собственная частота каждого из них указана выше, все разные. Готово: у каждого осциллятора есть гамильтониан.$H_k=\hbar \omega_k (a_k^\dagger a_k + 1/2)$, и, конечно же, вы можете преобразовать его в эквивалентное волновое уравнение Шредингера, но зачем вам это нужно? Дирак уже решил для вас проблему в пространстве Фока: ответы всегда находятся в матричной механике.

В любом случае, вы можете просто изготовить эквивалент$H_k=\hat{p}^2_k/2m_k +m_k \omega^2_k \hat{x}^2_k/2$, который в некотором абстрактном координатном пространстве$x_k$, представляет собой волновой оператор$-\hbar^2 \partial_{x_k}^2/2m_k +m_k\omega^2_k x^2_k/2$действующий на волновые функции c-числа$\psi_k'(x_k)$; а не операторы, как раньше в КТП. Далее обратите внимание на массу поля m и поглощаемую массу$m_k$каждого осциллятора являются совершенно не связанными параметрами и служат разным целям. На самом деле нет необходимости брать ограничения на низкие энергии, но, конечно, мода Голдстоуна k = 0 находится в нижней части спектра.

Таким образом, это обреченная на провал идея сравнивать яблоки и апельсины, операторные квантовые полевые функции пространства-времени и бесконечный набор волновых функций, определенных в совершенно разных пространствах: как вы теперь понимаете, они действуют в совершенно разных пространствах. X в КТП — это наше пространство, но бесконечность$x_k$s КМ - это абстрактные условные пространства для каждого осциллятора, в идеале никогда не рассматриваемые...