Предполагаемая симметрия символов Кристоффеля

Question

Предполагаемая симметрия символов Кристоффеля

Шаз

Со ссылкой на обсуждение в более раннем вопросе о независимости метрических символов и символов Кристоффеля обсуждалось, что симметрия символов Кристоффеля ( $\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha} = \Gamma_{\nu\mu}^{\alpha}$ ) «предполагается», и поэтому существуют версии классических теорий ОТО и квантовой гравитации, которые нарушают эту предполагаемую симметрию для получения более общих результатов.

Я следил за Шютцем, чтобы изучить ОТО и то, как вычислять в ней различные величины. На изображении ниже я выкладываю (изображение) часть стр. 133, где они как бы «доказывают» симметрию символов Кристоффеля (а не просто предполагают ее).

Для справки, уравнение 5.72, упомянутое в тексте, представляет собой исчезающую ковариантную производную метрического тензора. А 5,63 — это ковариантная производная тензора второго ранга.

Я предполагаю, что есть тонкий «пункт», который я здесь упускаю, потому что они не «предполагают» симметрию в книге, они «доказывают» это.

Может ли кто-нибудь пролить свет на то, как здесь доказывается симметрия и почему не предполагается?

Вальтер Моретти

Текст относится к декартовым координатам . Таким образом , априори предполагается , что существует конкретная система координат, в которой коммутируют вторые (ковариантные) производные . Следствием, правильно доказанным, является то, что коэффициенты связи симметричны в любой системе координат.

Ответы (2)

Предполагаемая симметрия символов Кристоффеля

Текст относится к декартовым координатам . Таким образом , априори предполагается , что существует конкретная система координат, в которой коммутируют вторые (ковариантные) производные . Следствием, правильно доказанным, является то, что коэффициенты связи симметричны в любой системе координат.

Qмеханик · Answer 1

Бесплатных обедов не бывает! :-) Шюц не доказывает волшебным образом без дополнительных предположений, что связность не имеет кручения. Скорее он предполагает , что символы соединения $\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}$ симметричны в одной системе координат, а поскольку кручение является тензором, они симметричны во всех системах координат.
Более подробно: криволинейные многообразия впервые представлены в главе 6. Вся глава 5 посвящена криволинейным координатам в пространстве-времени Минковского . В пространстве-времени Минковского (с его связностью Леви-Чивиты) существуют декартовы координаты, где символы связи $\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}$ исчезнуть, см. уравнение перед экв. (5.73).

Чам · Answer 2

Отсутствие кручения уже неявно предполагается с самого начала в этом «доказательстве». Когда Шютц говорит, что вторая ковариантная производная скалярного поля в декартовых координатах равна

\begin{matrix} (1) & ф_{, β; α} "=" \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{β}} ф, \end{matrix}

$\tag{1} \phi_{,\beta;\alpha} = \frac{\partial \, }{\partial \, x^{\alpha}} \, \frac{\partial \,}{\partial \, x^{\beta}} \, \phi,$

он уже предполагает, что

а) пространство-время плоское и $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$ (пространство Минковского, покрытое инерциальными декартовыми координатами),

б) тензор искривления равен 0, а это означает, что связность симметрична.

В общем, даже в декартовых координатах вторая ковариантная производная скалярного поля такова:

\begin{matrix} (2) & ф_{, β; α} "=" \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{β}} ф - Г_{α β}^{λ} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{λ}} ф . \end{matrix}

$\tag{2} \phi_{,\beta;\alpha} = \frac{\partial \, }{\partial \, x^{\alpha}} \, \frac{\partial \,}{\partial \, x^{\beta}} \, \phi - \Gamma_{\alpha \beta}^{\lambda} \, \frac{\partial \,}{\partial \, x^{\lambda}} \, \phi.$

Соединение (в любых координатах) можно разложить на его часть Кристоффеля (Леви-Чивита) и часть конторсии (я только предполагаю условие совместимости: $\nabla_{\lambda} \, g_{\mu \nu} = 0$ ):

\begin{matrix} (3) & Г_{α β}^{λ} "=" {\tilde{Г}}_{α β}^{λ} + К_{α β}^{λ}, \end{matrix}

$\tag{3} \Gamma_{\alpha \beta}^{\lambda} = \tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} + K_{\alpha \beta}^{\lambda},$

где $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda}$ являются символами Кристоффеля. Даже в декартовых координатах символы Кристоффеля являются нетривиальными функциями $x^{\mu}$ вообще, за исключением случаев, когда метрика плоская (т. е. пространство-время Минковского и инерциальная система отсчета). Так $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda}$ не отменяет даже в декартовых координатах! Даже если $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$ и $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} = 0$ , тензор искривления не обращается в нуль и уравнение (1) неверно.

Мне действительно не нравится это «доказательство» Шюца, потому что оно скрывает много вещей и может сбить с толку многих изучающих общую теорию относительности.

В стороннем комментарии обратите внимание, что $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} \ne 0$ даже в пространстве Минковского, покрытом декартовыми координатами! Вам также необходимо указать, что декартовы координаты являются инерционными , чтобы отменить символы Кристоффеля. Например, метрика Минковского , выраженная в ускоренном кадре (или кадре Риндлера), выглядит следующим образом:

\begin{matrix} (4) & д с^{2} "=" (1 + г Икс)^{2} д т^{2} - д {Икс}^{2} - д у^{2} - д г^{2} . \end{matrix}

$\tag{4} ds^2 = (1 + g \, x)^2 \, dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$

Даже в этих декартовых координатах имеем $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} \ne 0$ (хотя пространство-время по-прежнему плоское).

Предполагаемая симметрия символов Кристоффеля

Шаз

Вальтер Моретти

Ответы (2)

Qмеханик

Чам

О символе Кристоффеля и векторных полях

Является ли метрическое тензорное поле тем же, что и ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

От коллектора к коллектору?

Тензорные уравнения в общей теории относительности

Вопрос о полностью антисимметричном единичном псевдотензоре

Мотивация ковариантных производных аксиом в контексте общей теории относительности

Метрический тензор: зачем связывать его с декартовыми/минковскими координатами?

Вопрос о многообразиях и преобразованиях координат

Расчет базиса координат

Сомнение в вычислении тетрадного базисного вектора недиагонального метрического тензора