Расчет базиса координат

В « Общей теории относительности» Роберта М. Уолда определение «координатного базиса» (касательного пространства) многообразия дается следующим образом:

Позволять ψ : О → U ⊂ р н быть диаграммой с п е О . Если ф е Ф , тогда по определению ф ∘ ψ − 1 : U → р является С ∞ . Для мю "=" 1 , . . . , н определять Икс мю : Ф → р к

Икс мю ( ф ) "=" ∂ ∂ Икс мю ( ф ∘ ψ − 1 ) | ψ ( п ) .

Основа { Икс мю } из В п называется координатным базисом. Если бы мы выбрали другую карту, ψ ′ , мы бы получили другую основу координат { Икс ν ′ } . Мы можем, конечно, выразить Икс мю на новой базе { Икс ν ′ } . Используя цепное правило расширенного исчисления, мы имеем

Икс мю "=" ∑ ν "=" 1 н ∂ Икс ′ ν ∂ Икс мю | ψ ( п ) Икс ′ ν .

Однако это определение не кажется «правильным».

Позволять О быть р 2 и разреши Ψ быть диаграммой идентичности. В этом случае мы получаем, что

Икс 1 ( ф ) "=" ∂ ф ∂ Икс
Икс 2 ( ф ) "=" ∂ ф ∂ у
что хорошо. Если мы сейчас выберем другую диаграмму, ψ ′ , которая является «полярной системой координат», заданной ψ ( р , θ ) "=" ( р потому что ⁡ θ , р грех ⁡ θ ) ; ψ − 1 ( Икс , у ) "=" ( Икс 2 + у 2 , арктический ⁡ у / Икс ) .

Из цепного правила кажется, что мы хотим

Икс 1 "=" ∂ ф ∂ Икс "=" ∂ ф ∂ р ∂ р ∂ Икс + ∂ ф ∂ θ ∂ θ ∂ Икс "=" ∂ р ∂ Икс Икс р ′ + ∂ θ ∂ Икс Икс θ ′

Или, другими словами, Икс 1 ′ "=" Икс р ′ "=" ∂ ф ∂ р , Икс 2 ′ "=" Икс θ ′ "=" ∂ ф ∂ θ . Но если мы посчитаем Икс 1 ′ и Икс 2 ′ из определения получаем:

Икс 1 ′ "=" ∂ ∂ Икс ( ф ~ ∘ ψ ′ − 1 ) | ψ ′ ( п ) .
(где ф ( Икс , у ) "=" ф ~ ( р потому что ⁡ θ , р грех ⁡ θ ) "=" ф ~ ( р , θ ) . )
Икс 1 ′ "=" ∂ ф ~ ∂ р ∂ р ∂ Икс + ∂ ф ~ ∂ θ ∂ θ ∂ Икс .

Как именно мы должны применить определение, данное для карты полярных координат?

Ответы (2)

Диаграмма на странице 15 полезна. Оси вашей диаграммы не являются x и y. Ваши оси помечены θ и р . Очень важно понимать, что диаграмма — это буквально просто маркировка в р н .

ф определяется на многообразии. Не график. Но у вас есть отображение многообразия на график.

Поэтому,

ф | п "=" ф ( р , θ )   | ψ − 1 ( р , θ ) .

Икс θ ( ф ) "=" ∂ ∂ Икс θ ( ф ∘ ψ − 1 ( р , θ ) )

или

∂ ф ∂ θ "=" ∂ ∂ θ ( ф ∘ ψ − 1 ( р , θ ) )

Если г : ( р , θ ) → ( Икс ( р , θ ) , у ( р , θ ) ) затем

∂ ф ∂ θ "=" ∂ ∂ θ ( ф ∘ г ∘ ψ − 1 ( р , θ ) )

Затем примените цепное правило, чтобы получить ∂ ф ∂ θ "=" ∂ ф ∂ Икс ∂ Икс ∂ θ + ∂ ф ∂ у ∂ у ∂ θ .

Пожалуйста, не портите свои ответы.

Хотя @ExpertNonexpert прав в том, что ф ~ является ненужным заблуждением, ошибка, которая действительно имеет значение, заключается в этой строке:

Икс 1 ′ "=" ∂ ∂ Икс ( ф ~ ∘ ψ ′ − 1 ) | ψ ′ ( п ) .

В частности, производная берется по неверному параметру. Должен быть

Икс 1 ′ "=" ∂ ∂ Икс ′ 1 ( ф ∘ ψ ′ − 1 ) | ψ ′ ( п ) .

И с тех пор Икс ′ 1 просто θ , все работает так, как вы ожидаете.

Да, но моя карта была написана ( р , θ ) ↦ ( Икс , у ) что означало бы, что мы берем производную по Икс и у . Если я понимаю @Expert Nonexpert, то диаграмму следует рассматривать как п е М ↦ ( р , θ ) .
"моя карта была написана ( р , θ ) ↦ ( Икс , у ) ". Это не диаграмма. Вы могли бы думать об этом как о переходной карте , но определенно не о диаграмме. О "=" р 2 , и любая диаграмма является картой ψ : О → U , с U "=" р 2 также. Но это два разных р 2 с. Лучше всего подумать М и О как туманные пространства. Координаты вроде Икс , у , р , θ на самом деле никогда не находятся в этих местах; они просто соответствуют точкам в этих пространствах.
@ Jbag1212 Диаграмма - это маркировка. Это сложное понятие, потому что мы выполняем эту маркировку поверхности сферы, накладывая на нее метки. Мы не останавливаемся и не думаем, как выразить это математически. Когда мы это делаем, мы эффективно отображаем точки, которые являются решениями уравнения r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, на метки. Это обычно не стресс. Вот почему это может сбивать с толку.
@ Jbag1212, тогда f определяется в этих точках (x, y, z) = (x (тета, фи), y (тета, фи), z (тета, фи)). Вальд относится к ψ и это тоже сложно, потому что ψ - это отображение на (тета, фи) диаграмму. но на практике мы почти никогда не работаем с этой математической функцией. мы гораздо более знакомы ψ − 1 с x=rcos(тета) и y=rsin(тета)
Расчет базиса координат
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v