Представление Гольштейна-Примакова (приближение)

Question

Представление Гольштейна-Примакова (приближение)

камзор00

У меня вопрос относительно представления Гольштейна-Примакова .

В HP-представлении мы определяем спиновые операторы в терминах бозонных операторов рождения и уничтожения.

С_{Дж}^{+} "=" \sqrt{2 С - н_{Дж}} а_{Дж} С_{Дж}^{^{-}} "=" а_{Дж}^{†} \sqrt{2 С - н_{Дж}} С_{Дж}^{г} "=" С - н_{Дж}

$S_j^+ = \sqrt{2S - n_j} a_j \\ S_j^{^-} = a^\dagger_j\sqrt{2S - n_j} \\ S^z_j = S - n_j$

Где $a_j$ и $n_j$ являются операторами. Когда мы выводим закон дисперсии магнонов, мы делаем предположение, что

\frac{⟨ н_{Дж} ⟩}{⟨ С^{г} ⟩} ≪ 1

$\frac{\langle n_j \rangle}{\langle S^z \rangle}\ll 1$

что хорошо. Насколько я понимаю, это означает только то, что мы предполагаем, что большинство спинов указывает направление z. Однако, когда мы пойдем дальше в выводе, мы разложим ряд в $n_j/S$ , так что т.е.

С_{Дж}^{+} "=" \sqrt{2 С} \sqrt{1 - \frac{н_{Дж}}{2 С} + . . .} \approx \sqrt{2 С} \sqrt{1 - \frac{н_{Дж}}{2 С}}

$S_j^+ = \sqrt{2S}\sqrt{1- \frac{n_j}{2S}+...} \approx \sqrt{2S}\sqrt{1- \frac{n_j}{2S}}$

Вот этого я не понимаю. Скажи, что мы в спине $1/2$ -система. В этом случае мы можем для одного узла иметь не более 1 магнонного возбуждения и $S=\pm 1/2$ , поэтому для каждого отдельного сайта $n_j/2S$ не намного меньше единицы.

Тогда мой вопрос: как мы можем обосновать, что расширение серии имеет смысл для операторов на каждом отдельном участке? Будут ли вклады от каждого сайта при суммировании не вносить вклад, потому что

\frac{⟨ н_{Дж} ⟩}{⟨ С^{г} ⟩} ≪ 1

$\frac{\langle n_j \rangle}{\langle S^z \rangle}\ll 1$

или я что-то не так понял?

Любые мысли будут высоко оценены.

Ответы (2)

Представление Гольштейна-Примакова (приближение)

Нефенте · Answer 1

Предполагается, что спин $S$ является большим параметром. Гипотеза, которая, по-видимому, неверна для $S=1/2$ . Расширение находится в $1/S$ , который считается близким к нулю.

С_{Дж}^{+} "=" \sqrt{2 С - н_{Дж}} а_{Дж}^{†} "=" \sqrt{2 С} \sqrt{1 - \frac{н_{Дж}}{2 С}} а_{Дж}^{†} \approx \sqrt{2 С} \cdot (1 - \frac{н_{Дж}}{4 С}) а_{Дж}^{†}

$S^+_j = \sqrt{2S-n_j}a^\dagger_j = \sqrt{2S}\sqrt{1-\frac{n_j}{2S}}a^\dagger_j\approx\sqrt{2S}\cdot\left(1-\frac{n_j}{4S}\right)a^\dagger_j$ Второй член порядка

S^{- 1 / 2}

$S^{-1/2}$ , игнорируется.

Предполагая $S$ быть большим, составляет квазиклассическое приближение. В этом пределе относительная неопределенность спин-операторов становится исчезающе малой. (Используйте спиновую алгебру, чтобы увидеть это.)

\frac{Δ С^{я} Δ С^{Дж}}{С^{2}} ⟶ 0

$\frac{\Delta S^i\Delta S^j}{S^2} \longrightarrow 0$ Рабочая гипотеза состоит в том, что низкоэнергетические возбуждения реализуются как небольшие отклонения от полностью выровненного основного состояния. Для малого вращения, например

S = 1 / 2

$S=1/2$ нет возможности лишь слегка отклониться от скажем

S_{i}^{z} = + 1 / 2

$S^z_i=+1/2$ Что возвращает нас к вашему возражению/замечанию о том, что расширение недействительно в пределе «малого вращения».

Большое спасибо за ответ. Кажется, тогда я действительно не понял, что такое S. Если у нас есть один электрон в каждом узле в решетке, S не 1/2. Или S — это сумма всех спинов, так что если у нас есть N заполненных точек решетки, S = N*(1/2)?
@camzor00 $S$ спина на каждом сайте. Например, если вы рассматриваете цепочку частиц со спином 1/2 (электронов), то $S=1/2$
Итак, эта модель неприменима к решетке (или струне) электронов? Разве это не то, что мы обычно рассматриваем в контексте конденсированных сред? Прошу прощения за медлительность, но я все еще не понимаю, для каких физических систем применимо это приближение.
@camzor00 Да. Непонятно, почему это разложение должно выполняться для спина 1/2. Судя по всему, он удивительно хорошо работает в 2 и 3 измерениях. Могут быть методы, лучше подходящие для 1d низкоспиновых систем, но я должен отослать вас к литературе по этому вопросу, так как я далек от эксперта.
@ camzor00 Если мой ответ был вам полезен, пожалуйста, подумайте над тем, чтобы проголосовать за него. Спасибо.

Судипта Наяк · Answer 2

Исходя из аналогии с тем, что оператор рождения бозона преобразует узел с верхним спином из ферромагнитного основного состояния в нижний спин, можно сказать, что числовой оператор измеряет «спин вниз» точки решетки. Теперь в общем гамильтониане нет ограничения на то, что волновая функция в этом узле имеет либо восходящий, либо нисходящий спин. Это происходит только тогда, когда мы измеряем с помощью оператора pauli-z. Это может быть квантовая (суперпозиция) или классическая смесь восходящего и нисходящего вращения. Малое отношение числового оператора по отношению к S = 1/2 означает, что отклонение спина в основном состоянии вниз от вверх очень мало. Другими словами, амплитуда отклонения спина весьма мала. Следовательно, это кажется верным в расчетах.

Этот ответ отличается от предыдущего тем, что в нем говорится, что возможны небольшие отклонения в числовом операторе, поскольку волновая функция может быть просто суперпозицией с небольшим битом на нисходящем вращении. Таким образом, в этом предположении для S=1/2 нет математической несогласованности. Магнонные невзаимодействующие спиновые волны в решающей степени зависят от них.

Это не дает ответа на вопрос. Когда у вас будет достаточно репутации, вы сможете комментировать любой пост ; вместо этого предоставьте ответы, которые не требуют разъяснений от спрашивающего . - Из обзора
Разве это не отвечает на вопрос? Отношение оператора малого среднего числа к S означает «достаточно малые» отклонения локальной волновой функции от основного состояния.
Дочитайте комментарий до конца: "не требующие разъяснения от спрашивающего". Возможно, ваш ответ содержит соответствующую информацию, но ему может понадобиться немного больше доказательств или, по крайней мере, указателей на полезную документацию в поддержку того, что вы утверждаете.

Представление Гольштейна-Примакова (приближение)

камзор00

Ответы (2)

Нефенте

камзор00

Нефенте

камзор00

Нефенте

Нефенте

Судипта Наяк

Миясе

Судипта Наяк

Миясе

Матричный элемент нормально упорядоченного оператора

Операторы создания и уничтожения

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Понимание квантового спина как оператора вектора и спина

Как решить «точечный» продукт для спиновых матриц

Как может S2S2\textbf{S}^2 не быть кратным тождеству?

Связано ли вращение со скоростью изменения?

Понимание состояния квантового вакуума [дубликат]

Непонимание последовательного измерения вращения

Вращения собственных состояний спина в КМ