Матричный элемент нормально упорядоченного оператора

Уравнение (1.137) в Негеле и Орланде дает следующее тождество для нормально упорядоченного оператора$A(a_i^\dagger,a_i)$:

$$\langle \phi|A(a_i^\dagger,a_i)|\phi'\rangle=A(\phi_i^*,\phi'_i)e^{\sum \phi_i^*\phi'_i}$$

Для когерентных (бозонных) состояний$|\phi\rangle=e^{\sum\phi_ia^\dagger_i}|0\rangle$. Когда я пытаюсь доказать это, я получаю коэффициент 1/2 в показателе степени. Я возьму простой пример$A=a_i^\dagger a_i$чтобы попытаться найти свою ошибку. Сначала я определяю$\eta'=\sum \phi'_ia_i^\dagger$, и используйте идентификатор

$$a_i\eta'^n=n\phi'_i\eta'^{n-1}+\eta'^n a_i.$$

Тогда я могу показать

$$a_i|\phi'\rangle=(e^{\eta'}a_i+\phi'_ie^{\eta'})|0\rangle$$

Один член которого убивает вакуум, поэтому я показал

$$\langle \phi |a^\dagger_i a_i|\phi'\rangle=\langle 0| \phi^*_i\phi'_ie^{\eta^*}e^{\eta'}|0\rangle$$

Затем я хочу использовать формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Коммутатор

$$\begin{equation} [\eta^*,\eta']=[\sum\phi^*_ia_i,\sum\phi_ja^\dagger_j]=\sum[\phi^*_ia_i,\phi_i'a_i^\dagger]+\sum_{i\neq j}[\phi^*_ia_i,\phi_ja^\dagger_j]=\sum\phi_i^*\phi'_i,\qquad (1) \end{equation}$$ и когда вы коммутируете все через второй член и убиваете вакуум. Поскольку это скаляр, формула БЧХ дает

$$\ln(e^{\eta^*}e^{\eta'})=\eta^*+\eta'+\frac{1}{2}\sum\phi_i^*\phi_i'$$

Переставь сумму, возведи в степень, убей еще немного вакуума, и я получу правильное выражение, но с коэффициентом 1/2!

Что я делаю не так? Моя первая догадка в уравнении (1), может быть, есть какой-то подсчет добул, которого я не вижу, но вы можете написать что-то вроде

$$[\sum,\sum]=[1,\sum]+[2,\sum]+...=[1,1]+[1,\sum_{\neq 1}]+[2,2]+[2,\sum_{\neq 2}]+...$$ $$=\sum[i,i]+\sum_{i\neq j}[i,j].$$