Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Question

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Тендеро

Рассмотрим пространство состояний с базой, образованной собственными состояниями оператора $\hat{S}_z$ . Для государства $|\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle_z-\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle_z$ , каково значение $\langle\hat{S}_x\rangle$ ?

Я совершенно не представляю, как это сделать. Я даже не совсем понимаю выражение $|\phi\rangle$ сам. Как это можно сделать?

РЕДАКТИРОВАТЬ: благодаря ответу Асафа я смог лучше понять предмет. Для простоты напишу просто $|+\rangle$ вместо $|+\rangle_z$ и $|-\rangle$ вместо $|-\rangle_z$ . Поэтому я сделал следующее:

⟨ ф | {\hat{С}}_{Икс} | ф ⟩ "=" (\frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ + | - \frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ - |) (\frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{С}}_{Икс} | + ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{С}}_{Икс} | - ⟩) "=" (\frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ + | - \frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ - |) (\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ℏ}{2} | - ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ℏ}{2} | + ⟩) "=" \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ + | - ⟩ - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ + | + ⟩ - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ - | - ⟩ + \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ - | + ⟩ "=" - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} "=" - \frac{ℏ}{2}

$\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle=\left(\frac{1}{\sqrt2}\langle+|-\frac{1}{\sqrt2}\langle-|\right)\left(\frac{1}{\sqrt2}\hat{S}_x|+\rangle-\frac{1}{\sqrt2}\hat{S}_x|-\rangle\right) =\left(\frac{1}{\sqrt2}\langle+|-\frac{1}{\sqrt2}\langle-|\right) \left(\frac{1}{\sqrt2}\frac{\hbar}{2}|-\rangle-\frac{1}{\sqrt2}\frac{\hbar}{2}|+\rangle\right) =\frac12\frac{\hbar}{2}\langle+|-\rangle-\frac12\frac{\hbar}{2}\langle+|+\rangle-\frac12\frac{\hbar}{2}\langle-|-\rangle+\frac12\frac{\hbar}{2}\langle-|+\rangle=-\frac12\frac{\hbar}{2}-\frac12\frac{\hbar}{2}=-\frac{\hbar}{2}$

Но я не знаю, правильно ли это. Я ожидал, что, поскольку $|\phi\rangle$ имеет только спиновые компоненты в $z$ , спин по другой оси будет $0$ . Я сделал что-то не так в расчетах или это правильно, но я неправильно понимаю концепцию?

УиллО

Подсказка: попробуйте написать

| + ⟩_{z}

$|+\rangle_z$ и

| - ⟩_{z}

$|-\rangle_z$ как линейные комбинации

| + ⟩_{x}

$|+\rangle_x$ и

| - ⟩_{x}

$|-\rangle_x$ .

Тендеро

@WillO Должен ли я использовать матрицы Паули для изменения основы векторов? Я не нашел ни одного упражнения такого типа, поэтому я немного потерялся

Асаф

У вас есть правильный ответ, я дополню свой, чтобы помочь вам интерпретировать результат.

Ответы (2)

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Подсказка: попробуйте написать $|+\rangle_z$ и $|-\rangle_z$ как линейные комбинации $|+\rangle_x$ и $|-\rangle_x$ .
@WillO Должен ли я использовать матрицы Паули для изменения основы векторов? Я не нашел ни одного упражнения такого типа, поэтому я немного потерялся
У вас есть правильный ответ, я дополню свой, чтобы помочь вам интерпретировать результат.

Асаф · Answer 1

Сначала поясним выражение $|\phi\rangle$ .

кеты $|+\rangle_z$ и $|-\rangle_z$ являются собственными векторами $\hat{S}_z$ такой, что

{\hat{С}}_{г} | + ⟩_{г} "=" + \frac{ℏ}{2} | + ⟩_{г} {\hat{С}}_{г} | - ⟩_{г} "=" - \frac{ℏ}{2} | - ⟩_{г}

$\hat{S}_z |+\rangle_z = +\frac{\hbar}{2}|+\rangle_z \\ \hat{S}_z |-\rangle_z = -\frac{\hbar}{2}|-\rangle_z$ Это означает, что в

{| + ⟩_{z} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | - ⟩_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

$\{|+\rangle_z = \left(\substack{1\\0}\right),|-\rangle_z=\left(\substack{0\\1}\right)\}$ основа

{\hat{S}}_{z}

$\hat{S}_z$ имеет матричное представление

{\hat{С}}_{г} "=" \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} + 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) "=" \frac{ℏ}{2} (| + ⟩_{г} ⟨ + |_{г} - | - ⟩_{г} ⟨ - |_{г}) .

$\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cc} +1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right) = \frac{\hbar}{2}\left(|+\rangle_z\langle+|_z-|-\rangle_z\langle-|_z\right).$

Сейчас $\hat{S}_x$ имеет следующее матричное представление

{\hat{С}}_{Икс} "=" \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) "=" \frac{ℏ}{2} (| + ⟩_{г} ⟨ - |_{г} + | - ⟩_{г} ⟨ + |_{г})

$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) = \frac{\hbar}{2}\left(|+\rangle_z\langle-|_z+|-\rangle_z\langle+|_z\right)$

Вычислять $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ теперь вы можете заменить все и найти его.

Обновлять:

Чтобы интерпретировать результат, подумайте об этом так: $\hat{S}_z$ имеет четко определенный $z$ составляющая углового момента $\vec{S}$ но вы не знаете значения $x$ и $y$ компоненты. На самом деле вы не можете знать, потому что этому препятствует принцип неопределенности.

Работает как на этой картинке. Если государство $|+\rangle$ , ты знаешь что $\vec{S}$ находится где-то в верхнем конусе, но вы не можете точно знать, где именно. То же самое касается $|-\rangle$ и нижний конус.

Теперь, если вы посмотрите, вы увидите, что ваше состояние $|\phi\rangle$ на самом деле является собственным вектором оператора $\hat{S}_x$ . Это на самом деле $|-\rangle_x$ состоянии, так что вы можете думать о нем как о конусе, указывающем на $-x$ направление.

Я еще не знаком с этой штукой со спиновой нотацией. Разве собственные значения не должны быть $\frac{\hbar}{2}$ и $-\frac{\hbar}{2}$ ? Или я ошибаюсь?
Извините, вы правы. Я опустил это для простоты.
Нет проблем, я просто спросил, спасибо. Другое дело, я пытаюсь вычислить $\langle+|\hat{S}_x|+\rangle$ или $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ ?
Вы хотите $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ . Я не писал здесь полный ответ, чтобы вы могли разобраться. Я отредактирую для ясности.
Я отредактирую свой вопрос с прогрессом, которого я добился до сих пор. Пожалуйста, поправьте меня, если вы видите что-то не так

Марти Грин · Answer 2

Интересно, почему мы так редко упоминаем при обсуждении этих вещей, что вы не можете ответить на этот вопрос, не приняв человеческого соглашения относительно комбинации спиновых состояний. Если мы примем направление +/- z за северный и южный полюса, то любое состояние с равным квадратом амплитуды в обеих компонентах будет соответствовать спинору, указывающему куда-то к экватору. Может быть направление x, может быть направление y, но где-то на экваторе. Чтобы точно сказать, в каком направлении вы должны принять некое человеческое соглашение относительно относительного сложного отношения двух амплитуд. На этот вопрос нет правильного ответа, основанного на чистой физике.

Я предполагаю, что в данном случае это потому, что соглашение очень хорошо известно и широко используется. Если мы будем использовать стандартные матрицы Паули, то все будет готово.

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Тендеро

УиллО

Тендеро

Асаф

Ответы (2)

Асаф

Тендеро

Асаф

Тендеро

Асаф

Тендеро

Марти Грин

Асаф

Непонимание последовательного измерения вращения

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

Расчет полного углового момента состояния трех частиц со спином 1/2

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Помогите упростить уравнение коммутатора

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП