Этот вопрос возник из-за моего первого вопроса « Интерпретация векторных полей как производных от физики» . Дело вот в чем: если какая-то сила консервативен, то есть некоторое скалярное поле что является потенциалом, так что мы можем написать .
Это прекрасно, там говорится, что сила — это ковектор, но суть в том, что когда мы начинаем думать об искривленных пространствах, то обычно вместо того, чтобы говорить о градиентах и ковекторах, мы говорим о внешних производных и единых формах.
Тогда мой вопрос таков: если сила консервативна с потенциалом тогда правильно представить силу одной формой, полученной внешней производной потенциала, другими словами, формой ?
Во-вторых, если сила не является консервативной, правильно ли думать о ней как об одной форме? Но теперь какая интерпретация?
Я попытался дать такую интерпретацию: предположим, мы имеем дело с некоторым многообразием и предположим, что представляет собой координатную карту. затем охватывает кокасательное пространство, и поэтому, если мы интерпретируем некоторую силу в точке как некая форма тогда у нас будет используя правило суммирования.
Теперь, если я возьму некоторый вектор мы можем вычислить , Однако, и, следовательно и поэтому мой вывод таков: если я интерпретирую силу в точке как единую форму в точке, то это будет форма, которая при заданном векторе дает работу, совершаемую для перемещения частицы в направлении заданного вектора.
Таким образом, если сила меняется от точки к точке, я мог бы представить ее как поле одной формы, которое можно интегрировать по некоторому пути, чтобы найти общую проделанную работу.
Может ли кто-нибудь ответить на эти вопросы и сказать мне, правильный ли мой вывод?
Чтобы понять, что такое ньютоновское силовое поле, давайте рассмотрим второй закон Ньютона.
Силовое поле оказывается картой
Позволять
затем
Последнее уравнение является эквивалентом условия полураспыления и говорит нам, что мы имеем дело с полем второго порядка.
потому что пучки а также естественно изоморфны - в координатах мы просто меняем местами компоненты - мы можем представить его в виде дифференциальной формы на , который является просто дифференциалом функции Лагранжа (уравнения Эйлера-Лагранжа являются ньютоновскими уравнениями движения).
Теперь пространство ньютоновских силовых полей имеет не естественную структуру векторного пространства, а скорее аффинную структуру. Вам нужно указать нулевую силу — силу инерции — чтобы превратить ее в единицу. Такую силу может, например, дать геодезический аэрозоль общей теории относительности.
Как только это будет сделано, вы можете представить силовое поле как часть пучка отвода. куда . Это ковекторное поле, зависящее от скорости, которое вы действительно можете проинтегрировать или вывести из потенциальной функции (в случае независимости от скорости).
Теперь для тех, кому не нравится этот уровень абстракции, давайте попробуем более практичный подход:
Геометрически ускорение определяется выражением . Однако это пространство имеет неправильную структуру — если мы добавим два ускорения, действующих на одну и ту же частицу, мы получим , что больше не является действительным ускорением.
Вместо этого нам нужны векторы или же в случае ускорений, зависящих от скорости, и рецепт, как перейти от них к нашему исходному ускорению, как это происходит в нашем уравнении движения.
Итак, давайте предположим, что наше ускорение не зависит от скорости и представлено как . Подняв вектор вертикально на , мы приходим к . Чего «не хватает», так это горизонтальной составляющей .
Хотя такой горизонтальный подъем в координатах выглядит тривиально, он не является «естественной» операцией в дифференциальной геометрии. Вы можете исправить это двумя очевидными способами, либо предоставив соединение (тривиально увидеть, как это работает, если вы выберете геометрический подход из-за Эресманна), либо вручную указав «нулевое» ускорение из-за инерции.
Остается ответить на вопрос, почему мы используем силы вместо ускорений, или, сформулировав иначе, почему мы движемся в кокасательное пространство?
С точки зрения дифференциальной геометрии один из ответов на этот вопрос заключается в том, что мы хотим работать с потенциалами, которые являются менее сложными объектами, а дифференциал дает ковекторы вместо векторов.
Другой момент рассмотрения заключается в том, что , а также естественно изоморфны, тогда как не является. Эти изоморфизмы приводят к нескольким (более или менее) эквивалентным формулировкам аналитической механики, включая ньютоновский, лагранжевый и гамильтонов подход.
Приносим извинения за расширение сферы вопроса - не стесняйтесь игнорировать эти бессвязные фразы;)
На форумах по физике велась довольно продолжительная дискуссия о том, является ли сила естественно вектором или ковектором: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=666861 .
Если вы определяете импульс как «то, что сопряжено с положением», то импульс — это ковектор. Т.е. если у вас есть лагранжиан, то:
Тогда силу можно интерпретировать как . Или вы можете определить силу непосредственно из лагранжиана как:
В сочетании с приведенным вами аргументом о работе, где , кажется очень убедительным, что сила естественно интерпретируется как ковектор.
Все, что вы сказали, верно. Если сила не является консервативной, то она по-прежнему имеет смысл как 1-форма, хотя и не точная.
Отметим также, что условие для силы, которая локально определяется потенциалом, можно записать как чтобы для некоторой функции по лемме Пуанкаре.
В более общем смысле у нас есть потенциалы p-формы которому мы связываем p+1-форму напряженности поля . Например, в электромагнетизме (снова!) мы можем объединить векторный и скалярный потенциалы в 1-форму в пространстве-времени (3+1=4), и результирующий тензор напряженности поля будет таким .
Qмеханик