Преобразование базиса QM через унитарного оператора

У меня короткий вопрос о базисных преобразованиях в QM. Предположим, у меня есть две базы { | ф н ⟩ } и { | ф н ′ ⟩ } . Для краткости мы можем сделать их ортонормированными. Я знаю, что любой вектор состояния можно разложить по обоим основаниям:

| ψ ⟩ "=" ∑ н | ф н ⟩ ⟨ ф н | ψ ⟩ "=" ∑ н | ф н ′ ⟩ ⟨ ф н ′ | ψ ⟩

Я также понимаю, что отображение оператора | ф н ⟩ к | ф н ′ ⟩ , U ^ , является унитарным оператором.

Вот мне всегда говорили, что смена базиса не меняет вектор состояния. Если бы я выразил свой вектор состояния в базисе { | ф н ⟩ } и хочу выразить это в терминах { | ф н ′ ⟩ } Я должен просто применить преобразование личности 1 ^ "=" ∑ н | ф н ′ ⟩ ⟨ ф н ′ | и я изменю основу.

В этом процессе соответствующая матрица столбца изменится, как если бы была применена унитарная матрица. Из этого наблюдения, страницы 115-116 книги Зеттили и конспекты лекций курса, которому я следую, делается вывод, что для того, чтобы выразить вектор состояния в новом базисе, мы должны фактически применить такой унитарный оператор:

| ψ новый ⟩ "=" U ^ | ψ старый ⟩

Я видел этот вывод во многих местах, но не могу понять. Почему мы меняем состояние | ψ ⟩ ? Не выбран ли инвариант состояния базиса? Таков подход, например, Сакурая в разделе 1.5.

Или мы сохраняем фиксированный базис при применении унитарного оператора? Аналогию, которую я часто вижу, является 2D-вращение. Вращение ( Икс , у ) система координат через угол θ становиться ( Икс ′ , у ′ ) при сохранении фиксированного вектора есть преобразование базиса (из ( Икс , у ) к ( Икс ′ , у ′ ) -система). Но математически я также могу повернуть вектор состояния на угол − θ и относиться к старому ( Икс , у ) -оси как новые ( Икс ′ , у ′ ) -оси. Это то, что делают источники, которые меня смущают (в контексте QM)?

Ответы (1)

Состояние, конечно, не меняется, но меняется его представление в новом базисе. Это довольно интуитивно, давайте возьмем пример вращения в 2D-пространстве: рассмотрим единичный вектор в Икс у плоскость, которую дает

В "=" ( 1 0 ) .
Если бы я должен был описать этот вектор в базисе Икс ′ у ′ который повернут относительно Икс у под углом θ по часовой стрелке, нетрудно заметить, что это соответствует
В ′ "=" ( потому что ⁡ θ грех ⁡ θ ) .

Вектор остается «прежним», но его представление меняется в зависимости от выбора координат: то, что раньше указывало вдоль Икс ось теперь будет казаться точкой вдоль некоторой линии вдоль угла θ . Если бы мы хотели связать эти два представления, в 2D мы бы использовали специальное ортогональное преобразование (поворот) и могли бы сказать, что

В ′ "=" р В , где р "=" ( потому что ⁡ θ грех ⁡ θ − грех ⁡ θ потому что ⁡ θ ) .

Такое преобразование сохраняет длины, ориентации и скалярные произведения векторов. Точно так же в КМ преобразования, сохраняющие «длину» (скалярные продукты), являются унитарными преобразованиями . U ^ , так как они сохраняют инвариант скалярного произведения, так как

⟨ ф ′ | ψ ′ ⟩ "=" ⟨ ф ′ | U ^ † U ^ ψ ⟩ "=" ⟨ ф | ψ ⟩ .

Я не уверен, что следую. В обозначениях Дирака состояние, с которого я начинаю, это | ψ ⟩ "=" | Икс ⟩ . Тогда в новом базисе получим | ψ ⟩ "=" потому что ⁡ θ | Икс ′ ⟩ + грех ⁡ θ | у ′ ⟩ . Мне это совершенно ясно: вектор остается одинаковым, но элементы матрицы меняются (через унитарную матрицу!). Но если бы я применил унитарный ОПЕРАТОР к моему вектору состояния, я бы получил совершенно другой вектор: U ^ | ψ ⟩ "=" потому что ⁡ θ | Икс ⟩ − грех ⁡ θ | у ⟩ . То же самое, только если я начну «притворяться», что базисные векторы после преобразований «новые», верно?
Итак, в этом случае мы имеем | В ′ ⟩ ≠ | В ⟩ ? С р ^ не тождественный оператор?
Да, они оба представляют одно и то же физическое состояние (т. е. палку), но их представления различны в наших индивидуальных базах.
Например: рассмотрим двух человек ( А и Б ) движутся друг относительно друга, наблюдая за частицей в состоянии определенного импульса. Оба они измеряют импульс частицы: А измеряет импульс п А , и Б измеряет импульс п Б . А видит состояние частицы как | п А ⟩ , и Б видит это как находящееся в | п Б ⟩ . Конечно, нет ничего особенного в том, чтобы постоянно двигаться друг относительно друга, и поэтому их мировоззрения эквивалентны, и все вероятности, что А найду п А и Б найду п Б одинаковы. Преобразование между состояниями унитарно.
Извините, что задаю так много вопросов, но разве представление не просто связанная матрица столбцов? Я знаю, что матрица столбца, содержащая компоненты ⟨ Икс ′ | В ⟩ и т. д. изменяется при унитарном преобразовании. Но представление о том, что вектор состояния меняется ( | В ⟩ ≠ | В ′ ⟩ ) кажется, полностью противоречит тому факту, что мы можем выразить кет-вектор в нескольких основаниях с помощью тождественного преобразования: | ψ ⟩ "=" ∑ н | ф н ⟩ ⟨ ф н | ψ ⟩ "=" ∑ н | ф н ′ ⟩ ⟨ ф н ′ | ψ ⟩
Преобразование базиса QM через унитарного оператора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v