Каким образом [A,B]=0[A,B]=0[A,B]=0 подразумевает возможность одновременного измерения соответствующих собственных значений?

Предположим, что$\hat A$и$\hat B$имеют общие собственные состояния$\psi_{A_i,B_j}$, т.е.

$$\hat A\psi_{A_i,B_j}=A_i\psi_{A_i,B_j}$$ $$\hat B\psi_{A_i,B_j}=B_j\psi_{A_i,B_j},$$ где $A_i$и $B_j$являются соответствующими собственными значениями. Из приведенных выше уравнений имеем $$\hat B\hat A\psi_{A_i,B_j}=A_i\hat B\psi_{A_i,B_j}=A_iB_j\psi_{A_i,B_j}$$ $$\hat A\hat B\psi_{A_i,B_j}=B_j\hat A\psi_{A_i,B_j}=B_jA_i\psi_{A_i,B_j}=A_iB_j\psi_{A_i,B_j},$$ поэтому их вычитание дает: $$[\hat A,\hat B]\psi_{A_i,B_j}=0.$$ Это означает, что два оператора с одним и тем же набором собственных состояний должны коммутировать .

Приведенное выше утверждение означает, что вы можете одновременно измерять собственные значения$A_i$и$B_j$. То есть можно либо сначала измерить$\langle\hat A\rangle$(и найти$A_i$), а затем измерить$\langle \hat B\rangle$(и найти$B_j$) или наоборот. Неважно, какую физическую величину вы измерите первой.

---

Из-за важного комментария @WillO я объясню обратную процедуру.

Предположим, что$[\hat A,\hat B]=0$, мы должны показать, что они имеют одинаковые собственные состояния. Позволять

$$\hat A\psi_{A_i}=A_i\psi_{A_i}\qquad \Rightarrow\qquad \hat B\hat A\psi_{A_i}=\hat B(A_i\psi_{A_i})=A_i\hat B\psi_{A_i}\equiv A_i\phi .$$ Теперь, благодаря исчезновению коммутатора, мы имеем, что $$\hat B\hat A\psi_{A_i}=\hat A\hat B\psi_{A_i}=\hat A\phi$$ Из правой части последних уравнений имеем, что $$\hat A\phi=A_i\phi,$$ означающий, что $\phi$также является собственным состоянием $\hat A$с собственным значением $A_i$. Это может произойти по следующим причинам:

1. $\phi=c\psi_{A_i}$, с$c$константа. Следовательно, коммутирующие операторы имеют одновременные собственные состояния.
2. $\phi\neq c\psi_{A_i}$. В этом случае оператор$\hat A$должны иметь вырожденные собственные состояния, а именно$\phi$и$\psi_{A_i}$. Даже в этом случае невырожденные собственные состояния$\hat A$одновременно являются собственными состояниями$\hat B$.

Если два оператора коммутируют, то они имеют одновременные собственные функции, т. е. одни и те же функции являются собственными функциями обеих этих функций.

Если вы дополнительно вызовете неравенство Коши-Шварца и используете его в сочетании с формулировкой дисперсии физических величин в QM , вы можете легко установить, что произведение неопределенности двух операторов$\hat A$и$\hat B$, подчиняется:

$$( \sigma_A \ \sigma_B )^2 \geq \left( \frac{\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle}{2i} \right)^2$$

Это называется обобщенным принципом неопределенности ( подробный вывод см ., например, в Griffiths, QM 2e/d, раздел 3.5 ).

(Или стр. 108, здесь , в более старой версии.)

Суть этого утверждения заключается в следующем: все некоммутирующие пары имеют определенные для них соответствующие принципы неопределенности, т. е. не являются одновременно определяемыми, а коммутирующие не имеют такого применимого к ним произведения неопределенности. Следовательно, собственные значения$\hat A$и$\hat B$, (относительно их одновременных собственных функций), могут быть определены «одновременно».