Собственные значения произведения двух эрмитовых операторов [закрыто]

Question

Собственные значения произведения двух эрмитовых операторов [закрыто]

Физика
операторы
коммутатор
собственное значение
линейная алгебра
квантовая механика

Ученик на протяжении всей жизни

Позволять $A$ и $B$ — два эрмитовых оператора. Позволять $C$ другой оператор такой, что $C = AB$ . Что можно сказать о собственных значениях $C$ ? Будут ли они реальными/воображаемыми/сложными? Что я делал, так это искал примеры. Ниже приведены примеры (в матричном представлении), которые я искал: $A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ и $B = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ чтобы получить эрмитову матрицу и, следовательно, действительные собственные значения.
Далее я попробовал:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ и $B = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ чтобы получить антиэрмитову матрицу и, следовательно, мнимые собственные значения.
Есть ли более конкретный способ решить эту проблему? Можем ли мы иметь общее комплексное число в качестве собственных значений произведения эрмитовых матриц?

Qмеханик

Возможный дубликат по OP: physics.stackexchange.com/q/666144/2451

Куильо

Я не знал об этом дубликате. Я разместил общее решение здесь: physics.stackexchange.com/a/666155/226902 .

Майкл Зайферт

Отвечает ли это на ваш вопрос? Сумма коммутатора и антикоммутатора

Ответы (2)

Собственные значения произведения двух эрмитовых операторов [закрыто]

Возможный дубликат по OP: physics.stackexchange.com/q/666144/2451
Я не знал об этом дубликате. Я разместил общее решение здесь: physics.stackexchange.com/a/666155/226902 .
Отвечает ли это на ваш вопрос? Сумма коммутатора и антикоммутатора

Джозеф Х · Answer 1

В целом можно сказать, что $C=AB$ будут иметь действительные, мнимые и комплексные собственные значения (комплекс вида $z=a+ib$ где и $\{a,b\in \mathbb{R}\mid a,b \ne 0\}$ как показано в комментариях Марка и ответа Qmechanic). Например, если

А "=" [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] и Б "=" [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}\ \ \text{and}\ \ B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& -1 \end{bmatrix}$ где

А Б "=" [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$AB=\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ будут иметь не действительные, а мнимые собственные значения.

Однако мы можем сказать одно: если $A$ и $B$ ездить тогда $C=AB$ всегда будет иметь действительные собственные значения, поскольку собственные значения всех эрмитовых операторов действительны.

Так что если

С "=" А Б

$C=AB$ затем

С^{†} "=" (А Б)^{†} "=" Б^{†} А^{†} "=" Б А

$C^\dagger =(AB)^\dagger =B^\dagger A^\dagger =BA$ с

A

$A$ и

B

$B$ эрмитовы, и, очевидно,

С^{†} "=" С

$C^\dagger =C$ если

[А, Б] "=" А Б - Б А "=" 0 \to А Б "=" Б А

$[A,B]=AB-BA=0\rightarrow AB=BA$ Это значит, что

C^{†} = C

$C^\dagger =C$ только если

A

$A$ и

B

$B$ ездить в таком случае

C

$C$ будут иметь действительные собственные значения.

Может $C$ когда-либо иметь собственные значения вида $a + ib$ , где $a, b \in \mathbb{R}$ и $a, b \neq 0$ ?
сэр, я имел в виду, что мы можем иметь собственные значения формы $a + ib$ где $a,b \in \mathbb{R}$ и $a, b \neq 0$
Я хотел бы добавить в ответ @josephh, что если антикоммутатор $A$ и $B$ равно 0, то C будет антиэрмитовым и, следовательно, будет иметь чисто мнимые собственные значения
@josephh Неправда, что собственные значения либо действительны, либо мнимы. Матрица $AB$ обычно имеет как эрмитовы, так и антиэрмитовы компоненты, поэтому собственные значения могут быть любыми комплексными числами. Рассмотрим, например $A = \sigma_z$ и $B=\sigma_z + \sigma_x$ , затем $AB = \mathbb{1} + i \sigma_y$ , где $\sigma_{x,y,z}$ являются матрицами Паули. Собственные значения $AB$ являются $1\pm i$ .
Я согласен с @MarkMitchison. Можно показать, что (в общем случае) собственные значения $AB$ являются сложными и входят в сопряженные пары (как в примере в комментарии Марка Митчинсона), см. physics.stackexchange.com/a/666155/226902
LifelongLearner Обратите внимание, что бывают случаи, когда собственные значения могут быть в форме a+ib, как показал выше Марк Митчисон, используя спиновые матрицы (спасибо, Марк). Это означает, что собственные значения в общем случае могут быть чисто действительными или чисто мнимыми и комплексными. Но это не меняет того факта, что продукт $AB$ будут иметь чисто действительные собственные значения, если $A$ и $B$ добираться.

Qмеханик · Answer 2

TL;DR: если предположить, что $A,B$ являются самосопряженными, произведение $AB$ не требует диагонализируемости. И если $AB$ является диагонализируемым, собственные значения не обязательно должны быть действительными или мнимыми.

Пример 1: $AB$ не диагонализируется:

А "=" (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \land Б "=" (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow А Б "=" (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$A~=~\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\wedge\quad B~=~\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad AB~=~\begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Пример 2: $AB$ имеет комплексные собственные значения:

А "=" (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \land Б "=" (\begin{matrix} 0 & б \\ б^{*} & 0 \end{matrix}) \Rightarrow А Б "=" (\begin{matrix} б^{*} & 0 \\ 0 & б \end{matrix}) .

$A~=~\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}\quad\wedge\quad B~=~\begin{pmatrix} 0 & b \cr b^{\ast} & 0 \end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad AB~=~\begin{pmatrix} b^{\ast} & 0 \cr 0 & b \end{pmatrix}.$

Собственные значения произведения двух эрмитовых операторов [закрыто]

Ученик на протяжении всей жизни

Qмеханик

Куильо

Майкл Зайферт

Ответы (2)

Джозеф Х

Ученик на протяжении всей жизни

Ученик на протяжении всей жизни

Ученик на протяжении всей жизни

Джозеф Х

Квантовый осциллятор

Марк Митчисон

Куильо

Джозеф Х

Qмеханик

Ограничение оператора

Каким образом [A,B]=0[A,B]=0[A,B]=0 подразумевает возможность одновременного измерения соответствующих собственных значений?

Соответствуют ли коммутирующие эрмитовы операторы совместимым наблюдаемым?

Почему собственные вещи лучше/полезнее, чем не собственные?

Почему собственные значения энергии никогда не зависят от координаты положения xxx?

Что на самом деле означает |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (рисунок Гейзенберга)?

Как матричное представление гамильтониана влияет на собственные значения?

Помогите понять доказательство при одновременной диагонализации

Формальный способ одновременной диагонализации двух коммутирующих эрмитовых операторов?

Значит ли это, что коммутатор оператора с гамильтонианом равен гамильтониану?