Преобразование бесследного симметричного тензора под действием группы Ли

Обычно тензорное произведение, элементы которого преобразуются под действием группы Ли, разлагается на его следовую часть, бесследовую симметричную часть и антисимметричную часть, чтобы получить неприводимое представление группы Ли.

Например, 3 ⊗ 3 из с ты ( 2 ) представлен суммой неприводимых повторений, 1 , 3 , 5 . Однако я не понимаю этот результат с точки зрения компонентов тензора.

Позвольте мне сосредоточиться на конкретном примере, чтобы прояснить мой вопрос. Позволять л я   ( я "=" 1 , 2 , 3 ) эрмитовы образующие С О ( 3 ) которые подчиняются с ты ( 2 ) Алгебра Ли и а я † , а я — тензорные операторы, которые преобразуются как 3 под алгеброй.

Другими словами,

[ л я , а Дж † ] "=" я ε я Дж к а к † , [ л я , а Дж ] "=" я ε я Дж к а к .
Можно подумать эти а я † , а я как операторы рождения/уничтожения трехмерного изотропного гармонического осциллятора.

Тогда мы можем построить симметричное тензорное произведение вида а я † а Дж + а Дж † а я .

С ( 3 ⊗ 3 ) с у м "=" 5 + 1 , мы должны показать, что можем вывести два оператора 5 и 1 соответственно из симметричного произведения.

Как я уже сказал, мы обычно находим следовую часть как 1 (синглет) и действительно

[ л я , ∑ Дж а Дж † а Дж ] "=" 0.

Таким образом, нам нужно показать бесследовый симметричный тензор

1 2 ( а я † а Дж + а Дж † а я ) − 1 3 дельта я Дж ∑ к а к † а к
трансформируется как 5 .

Однако вычисление коммутатора дает нам

[ л я , 1 2 ( а Дж † а к + а к † а Дж ) − 1 3 дельта Дж к ∑ л а л † а л ] "=" [ л я , 1 2 ( а Дж † а к + а к † а Дж ) ]
так что мы можем проверить только это преобразование под 3 ⊗ 3 .

С е Б А е − Б "=" А + [ Б , А ] + ⋯ , я хочу показать, что это преобразование оставляет неизменными свои бесследные и симметричные свойства, но как я могу это сделать?

Любые комментарии приветствуются.

Предложение: если вы используете индекс я маркировать л s, не используйте его для обозначения а † , чтобы избежать путаницы. См. Rowe DJ, Le Blanc R, Repka J. Роторное расширение su (3) алгебры Ли. Журнал физики A: математический и общий. 1989 г., 21 апреля; 22(8):L309. для явного построения л "=" 2 тензор.
@ZeroTheHero Я думаю, что индексы лестничных операторов являются индексами пространства-времени, поскольку приведенные выше преобразования, вызванные л указывает. Действительно, лестничные операторы соответствуют трехмерному HO, поэтому индексы соответствуют Икс , у , г в правильной системе. Не могли бы вы уточнить причину, по которой мы должны различать их более подробно?
Индексы могут быть какими угодно (ничего общего с пространством-временем), но почему вы настаиваете на использовании я в обоих л я и а я † а Дж с я повторяется? Хотя с ты ( 2 ) ∼ с о ( 3 ) они по-разному и неэквивалентно вложены в su(3); см. документ Роу выше, где л "=" 1 тензор (генераторы so(3)) и л "=" 2 (квадрупольный) тензор задаются явно. л "=" 0 часть Н "=" ∑ к а к † а к .
Прости... я хотел написать л к но я сделал ошибку.
Или вы предлагаете нам писать индексы лестничных операторов греческими буквами или, в некоторой степени, не латиницей?
Это не имеет значения. Дело в том, что если индекс на я на л я не нужно повторять в а я † а к . л я тривиально коммутирует с а я † а я так что это выглядит запутанно, как написано.
Да, точно. Спасибо за ваш добрый комментарий!

Ответы (1)

Вы пытаетесь исследовать преобразование симметричных бесследовых матриц М Дж л , в спине 2 без повторения вращений, относительно вращений, ортогональные матрицы е θ л я , где л Дж к я "=" ϵ я Дж к , реальный антисимметричный. Вы хотите перевести это в реализацию Джордана-Швингера , которую вы неправильно конфигурируете и применяете, так что давайте пока отложим это.

Итак, как вы видите р М р Т "=" р М р − 1 является симметричным бесследным, как М ? Здесь:

М Дж л ′ "=" р Дж к М к р р р л Т "=" р Дж к р л р М к р       ⇝ М Дж Дж ′ "=" р Дж к р Дж р М к р "=" дельта к р М к р "=" 0 ,
Из ортогональности R и бесследовости M .

Итак, M' симметрично бесследно, также 5 .

Если в расширении тождественного коммутатора Адамара вы повторили это до первого порядка в л я или любой антисимметричный θ я л я , если на то пошло, вы обнаружите, что термин, линейный по θ, также является симметричным бесследным, а затем, рекурсивно, аналогичным образом для членов любого порядка по θ !

Конструкция Джордана гарантированно сработает, но это дико-дикое излишество. Вам придется убедить себя, что О ( θ ) срок

[ а Дж † л Дж к я а к , а р † М р с а с ]
представляет собой бесследовую симметричную матрицу, зажатую между тройкой а † песок а с., довольно просто: ∝ а Дж † ( ϵ я Дж к М к л + ϵ я л к М к Дж ) а л .

Обратите внимание, что это не совсем так, с ты ( 2 )       5 представлений в Википедии, процитировано, но это не ваша забота, учитывая вашу настройку.

Примечание в ответ на комментарии

Очевидно, мост реализации JS не помог. Просто рассмотрите свой бесследный симметричный тензор

Н я Дж "=" 1 2 ( а я † а Дж + а Дж † а я ) − 1 3 дельта я Дж ∑ к а к † а к
и подтвердите свой второй член в расширении Адамара, [ л я , Н ] бесследно-симметричный,
ϵ я Дж к Н к л − Н Дж к ϵ я к л ,
что и есть в свободных индексах j и l , а i — инертный индекс метки! Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, и сжатие симметричного и антисимметричного тензора обращается в нуль.

Тогда моя ошибка заключается в том, что я не засунул оператора между а † а ?
Я не понимал, почему я должен это делать. На самом деле мой оператор написан в терминах лестничных операторов. Следовательно, я думаю, что нам не нужно делать это повторно. Однако я полагаю, что моя истинная ошибка заключается в том, что я беру свой след над этим фоковским пространством. След ( а я † а Дж + а Дж † а я ) не просто 2 ∑ я а я † а я но мы должны вычислить ∑ н ⟨ н | ( а я † а Дж + а Дж † а я ) | н ⟩ .
Тогда я могу сказать, что бесследовый симметричный тензор преобразуется как 5 так как число независимых компонент равно 5 и его бесследовость и симметрия сохраняются при преобразованиях. Кроме того, не существует фиксированного тензора с такими свойствами. Этот факт соответствует существованию пятерок в некотором гильбертовом пространстве. Это правильная мысль?
Никаких следов в фоковском пространстве и коммутаций в некоммутативном осцилляционном пространстве нет ! См. мою прямую демонстрацию в добавленном примечании. Все дело в матрицах в трех индексах вращения.
Большое спасибо. Теперь я понимаю. Я забыл индекс л не имеет ничего общего с трассировкой... извините. Кроме того, из приведенного выше результата следует коммутатор л и симметричный тензор, не обязательно бесследный, становится бесследовым. Действительно, в приведенном выше обсуждении мы знаем [ л , Т р ( а † а ) ] "=" 0 следовательно, минусовой член следа не влияет на коммутатор Н .
Преобразование бесследного симметричного тензора под действием группы Ли
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v