Преобразование большой калибровки и форма пересечения

Брать$s=1$для простоты. Тогда это топологическая теория поля калибровочного поля 1-формы$A$и калибровочное поле 2-формы$B$соединенный через

$$S = \frac{n}{2\pi} \int_M B \wedge \mathrm{d}A +\frac{pn}{4\pi} \int_M B \wedge B,$$

где$M$является замкнутым 4-многообразием.

Ясно, что теория инвариантна относительно обычных калибровочных преобразований$A$,

$$A \to A + \mathrm{d}\lambda,$$

где$[\mathrm{d}\lambda]/2\pi \in H^1(M,\mathbb{Z})$. Когда$[\mathrm{d}\lambda]$тривиален в когомологиях (т.е.$\lambda$на самом деле глобально определенная функция), назовем это малым калибровочным преобразованием; когда оно нетривиально, назовите его большим калибровочным преобразованием. То есть,

$$\oint_\Sigma \frac{\mathrm{d}\lambda}{2\pi} \in \mathbb{Z}$$ равен нулю для малого калибровочного преобразования и отличен от нуля для большого калибровочного преобразования.

Теория также инвариантна относительно калибровочных преобразований «1-формы».

$$B \to B + \mathrm{d} \eta\\ A \to A - p \eta,$$

где$\eta$является калибровочным полем 1-формы (и$p$поэтому должно быть целым числом, так что$A-p \eta$остается калибровочным полем). При этом преобразовании действие деформируется на

$$\delta S = \frac{n}{2\pi} \int_M \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d} A + \frac{pn}{4\pi} \int_M \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d} \eta,$$

который может быть записан более наводящим на размышления как

$$\delta S = 2\pi n \int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} A}{2\pi} + \pi pn \int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} \eta}{2\pi}.$$

Интегралы$\mathbb{Z}$-ценный, так как$A$и$\eta$являются калибровочными полями. Для небольших калибровочных преобразований$\eta$определено глобально, эти интегралы равны нулю, а действие инвариантно. Включая большие калибровочные преобразования, первый член оставит вес интеграла по путям$e^{iS}$инвариант предоставлен$n\in \mathbb{Z}$. Для общего$M$и$n$, второй член оставляет инвариантным интеграл по путям при условии$p \in 2 \mathbb{Z}$. Однако, если$n$четно, то$p$может быть любым целым числом. Аналогично, если случится так, что пересечение образуется на$M$четно (что будет, если$M$вращается),

$$\int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} \eta}{2\pi}\in 2\mathbb{Z},$$

затем$p$снова может быть любым целым числом.

См. Kapustin, Seiberg Coupling a QFT to TQFT and Duality section 6 для получения более подробной информации (и остальную часть статьи для хорошего обсуждения этих видов$BF$теории).