Как увидеть вырождение основного состояния (GSD) из теории BFBFBF в 2+12+12+1 ddd?

Question

Как увидеть вырождение основного состояния (GSD) из теории BFBFBF в 2+12+12+1 ddd?

Физика
калибровочная теория
конденсированное вещество
топологический порядок
квантовая теория поля
топологическая теория поля

пользователь 21090

Я видел много раз, $BF$ теория имеет нетривиальное вырождение в основном состоянии (обычно на торе), но я не вижу, как получается вывод. Недавно я нашел статью Ханссона, Оганесяна и Сондхи « Сверхпроводники топологически упорядочены» , в которой сверхпроводник описывается уравнением Максвелла. $BF$ теория. У них есть раздел GSD в $BF$ теория в $2+1$ $d$ . Но на самом деле у меня все еще есть вопросы, чтобы понять это.

The $BF$ теория в $2+1$ $d$ дается действием

С "=" \frac{1}{π} \int г^{3} Икс ϵ^{мю ν о} б_{мю} \partial_{ν} а_{о}, (1)

$S = \frac{1}{\pi} \int d^3 x \epsilon^{\mu \nu \sigma} b_{\mu} \partial_{\nu} a_{\sigma}, \qquad (1)$ где

a_{μ}

$a_{\mu}$ и

b_{μ}

$b_{\mu}$ являются

U (1)

$U(1)$ калибровочные поля.

μ, ν, σ = 0, x, y

$\mu,\nu,\sigma = 0,x,y$ .

Работа над $2$ -torous, как в разделе IV.A в статье Ханссона, $BF$ теорию можно записать в виде

С "=" \frac{1}{π} \int г^{3} Икс [ϵ^{я Дж} {\dot{а}}_{я} б_{Дж} + а_{0} ϵ^{я Дж} \partial_{я} б_{Дж} + б_{0} ϵ^{я Дж} \partial_{я} а_{Дж}],

$S = \frac{1}{\pi}\int d^3x[\epsilon^{ij} \dot{a}_i b_j+ a_0 \epsilon^{ij} \partial_i b_j + b_0 \epsilon^{ij} \partial_i a_j],$ где

\dot{a} = \partial_{0} a

$\dot{a} = \partial_0 a$ и

i, j = x, y

$i,j = x,y$ . Они интерпретируют

a_{0}

$a_0$ и

b_{0}

$b_0$ множители для ограничений

ϵ^{i j} \partial_{i} b_{j} = 0

$\epsilon^{ij} \partial_i b_j = 0$ и

ϵ^{i j} \partial_{i} a_{j} = 0

$\epsilon^{ij} \partial_i a_j = 0$ . При вставке

a_{i} = \partial_{i} Λ_{a} + {\bar{a}}_{i} / L

$a_i = \partial_i \Lambda_a + \bar{a}_i/L$ и

b_{i} = \partial_{i} Λ_{b} + {\bar{b}}_{i} / L

$b_i = \partial_i \Lambda_b + \bar{b}_i/L$ , где

Λ_{a / b}

$\Lambda_{a/b}$ периодические функции на торе,

\bar{a_{i}}

$\bar{a_i}$ и

\bar{b_{i}}

$\bar{b_i}$ пространственно постоянны,

L

$L$ обозначает размер системы, выше

B F

$BF$ теория сводится к

С "=" \frac{1}{π} \int г^{3} Икс ϵ^{я Дж} {\dot{\bar{а}}}_{я} {\bar{б}}_{Дж} . (2)

$S = \frac{1}{\pi}\int d^3 x \epsilon^{ij} \dot{\bar{a}}_i \bar{b}_j. \qquad (2)$

Тогда они говорят, что из уравнения (2) можно получить коммутационное соотношение ( уравнение (38) в их статье)

[{\bar{а}}_{Икс}, \frac{1}{π} {\bar{б}}_{у}] "=" я, [{\bar{а}}_{у}, - \frac{1}{π} {\bar{б}}_{Икс}] "=" я . (3)

$[\bar{a}_x, \frac{1}{\pi}\bar{b}_y] = i, \quad [\bar{a}_y,-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x] = i. \qquad (3)$

Более того, из коммутационных соотношений (3), можно иметь ( уравнение (39) в их статье)

А_{Икс} Б_{у} + Б_{у} А_{Икс} "=" 0, А_{у} Б_{Икс} + Б_{Икс} А_{у} "=" 0, (4)

$A_x B_y + B_y A_x = 0, \quad A_y B_x + B_x A_y = 0, \qquad (4)$ где

A_{i} = e^{i {\bar{a}}_{i}}

$A_i = e^{i\bar{a}_i}$ и

B_{i} = e^{i {\bar{b}}_{i}}

$B_i = e^{i\bar{b}_i}$ . Они утверждают, что отношения Eq. (4) указывает на

2 \times 2 = 4

$2\times2 = 4$ -кратно GSD и "

B_{i}

$B_i$ можно интерпретировать как измерение

b

$b$ -флюс или вставка

a

$a$ - флюс."

Есть несколько моментов, которые я не понимаю.

Как я могу получить отношения связи Eq. (3) из уравнения действия. (2)?
Почему отношения Eq. (4) указать $4$ -кратно GSD?
Как я должен понимать высказывание " $B_i$ можно интерпретировать как измерение $b$ -флюс или вставка $a$ -флюс."?

Я был бы очень признателен, если кто-нибудь может дать мне несколько советов или предложить мне некоторые соответствующие ссылки.

Ответы (1)

Как увидеть вырождение основного состояния (GSD) из теории BFBFBF в 2+12+12+1 ddd?

Эверетт Ю · Answer 1

Сначала небольшое замечание: обычно люди называют эту теорию теорией Черна-Саймонса в (2+1)d, тогда как теория BF обычно ссылается на аналогичную теорию в (3+1)d. Но в любом случае, это название не имеет значения. U(1)-теория Черна-Саймонса в (2+1)d всегда формулируется в следующем общем виде

С "=" \int \frac{я}{4 π} К^{я Дж} а^{я} \land г а^{Дж} .

$S=\int\frac{\mathrm{i}}{4\pi}K^{IJ} a^I\wedge \mathrm{d}a^J.$ Действие в вашем уравнении. (1) соответствует следующему

K

$K$ матрица

К "=" [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}],

$K=\left[\begin{matrix}0&2\\2&0\end{matrix}\right],$ который очень известен

K

$K$ матрица, которая соответствует

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ топологический порядок торического кода (или

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ Калибровочная теория). Низкоэнергетическая эффективная теория сверхпроводника с полной щелью представляет собой

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ калибровочной теории просто потому, что конденсация куперовской пары с зарядом 2 преобразовала Хиггсе калибровочную структуру U(1) в

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ . Это эквивалентно (и, возможно, лучше) тому, что сверхпроводник проявляет

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ топологический порядок.

Что касается ваших технических вопросов, я бы порекомендовал оригинальную статью Вена и Зи (cond-mat/9711223) о топологическом вырождении основного состояния теории Черна-Саймонса или раздел 8.2.1 книги Вена. Ваш последний вопрос связан с моделью торического кода Китаева, которую я бы предложил в оригинальной статье Китаева (cond-mat/0506438) .

Попробую кратко ответить на ваши вопросы.

Из уравнения (2) мы знаем лагранжиан $L=\frac{1}{\pi}(\dot{\bar{a}}_x\bar{b}_y-\dot{\bar{a}}_y\bar{b}_x)$ , согласно классической механике, сопряженные импульсы $\bar{a}_x$ и $\bar{a}_y$ являются
$п_{{\bar{а}}_{Икс}} "=" \frac{\partial л}{\partial ({\dot{\bar{а}}}_{Икс})} "=" \frac{1}{π} {\bar{б}}_{у}, п_{{\bar{а}}_{у}} "=" \frac{\partial л}{\partial ({\dot{\bar{а}}}_{у})} "=" - \frac{1}{π} {\bar{б}}_{Икс} .$ $p_{\bar{a}_x}=\frac{\partial L}{\partial(\dot{\bar{a}}_x)}=\frac{1}{\pi}\bar{b}_y,\quad p_{\bar{a}_y}=\frac{\partial L}{\partial(\dot{\bar{a}}_y)}=-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x.$ Каноническим квантованием ( $[q,p]=\mathrm{i}$ в квантовой механике), уравнение (3) просто следует из $[{\bar{а}}_{Икс}, п_{{\bar{а}}_{Икс}}] "=" [{\bar{а}}_{Икс}, \frac{1}{π} {\bar{б}}_{у}] "=" я, [{\bar{а}}_{у}, п_{{\bar{а}}_{у}}] "=" [{\bar{а}}_{у}, - \frac{1}{π} {\bar{б}}_{Икс}] "=" я .$ $[\bar{a}_x,p_{\bar{a}_x}]=[\bar{a}_x,\frac{1}{\pi}\bar{b}_y]=\mathrm{i},\quad [\bar{a}_y,p_{\bar{a}_y}]=[\bar{a}_y,-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x]=\mathrm{i}.$
Однако для вычисления вырождения основного состояния вдоль этой линии нужно знать, что калибровочные поля $a$ и $b$ оба компактны из-за того, что их калибровочные заряды квантуются (см. раздел 6.3 книги Вэня), а это означает, что помимо локального калибровочного преобразования допускается и так называемое большое калибровочное преобразование. На торе преобразование большой калибровки посылает $\bar{a}_i\to\bar{a}_i+2\pi$ и $\bar{b}_i\to\bar{b}_i+2\pi$ . Калибровочные конфигурации, связанные калибровочным преобразованием, являются просто разными метками одного и того же физического квантового состояния, поэтому большое калибровочное преобразование фактически накладывает граничное условие на $\bar{a}$ и $\bar{b}$ . Например, $|\bar{a}_x\rangle=|\bar{a}_x+2\pi\rangle$ являются одним и тем же государством. Таким образом, квантово-механическая волновая функция подчиняется периодическому граничному условию, например $\psi(\bar{a}_x)=\psi(\bar{a}_x+2\pi)$ , а это означает, что импульс $p_{\bar{a}_x}=\frac{1}{\pi}\bar{b}_y$ должен быть проквантован до целого числа (вспомним формулу импульсного квантования $\frac{2\pi n}{L}$ с $L=2\pi$ ), т.е. $\bar{b}_y=n\pi$ (с $n\in\mathbb{Z}$ ). Однако в силу большого калибровочного преобразования $|\bar{b}_y\rangle=|\bar{b}_y+2\pi\rangle$ также являются одним и тем же состоянием, поэтому $n=0,1$ может принимать только два значения, что соответствует двум собственным состояниям $\bar{b}_y$ , натягивающий двумерное гильбертово пространство. Повторите тот же аргумент для другой сопряженной пары. $\bar{a}_y$ и $\bar{b}_x$ , можно найти другое 2-мерное гильбертово пространство. В конце концов, гильбертово пространство основных состояний является просто прямым произведением обоих 2-мерных гильбертовых пространств, которое содержит всего 4 состояния, следовательно, 4-кратное GSD.
Вы можете понять это утверждение так же, как понимаете следующее утверждение в квантовой механике: оператор импульса $p$ измеряет импульс частицы, а также генерирует перевод координат. Каждый квантово-механический оператор имеет два эффекта: измерительный и операционный. Если он измеряет импульс, он также должен управлять (или изменять) координатой. Теперь отношение между $a$ -флюс и $b$ -поток аналогичен отношению между координатой и импульсом, поэтому любой оператор, измеряющий $b$ -поток обязательно должен изменить $a$ -поток (путем подстановки потока причины) и, очевидно, $B$ такой оператор. В модели торического кода $A$ и $B$ также известны как петлевой оператор по гомологическому базису, который имеет более ясный геометрический и физический смысл. Чтобы узнать больше об алгебре петель, вы можете посмотреть статью (1208.4834) Баркешли, Цзяня и Ци или статью (1208.4109) Ю, Цзяня и Вэня.

Как увидеть вырождение основного состояния (GSD) из теории BFBFBF в 2+12+12+1 ddd?

пользователь 21090

Ответы (1)

Эверетт Ю

Фазовая структура (квантовой) калибровочной теории

Любой конденсат – какое точное определение?

топологическая энтропия запутанности для проколотого тора и сферы

Модели высшего типа Черна-Саймонса

Калибровочная инвариантность и диффеоморфизм-инвариантность в теории Черна-Саймонса

Большие калибровочные преобразования для калибровочных полей высшей p-формы

Преобразование большой калибровки и форма пересечения

Определитель Фаддеева-Попова теории Черна-Саймонса

Связь между кобордизмом и классификацией категории унитарного слияния фазы TQFT/SPT

Определение короткой запутанности