Преобразования Лоренца: какая система координат отмечена?

Question

Преобразования Лоренца: какая система координат отмечена?

Йорген

Я запутался в основном вопросе специальной теории относительности. Итак, у нас есть преобразования Лоренца

\begin{aligned} {Икс}^{'} & "=" γ (Икс - ты т) \\ т^{'} & "=" γ (т - ты Икс / с^{2}), \end{aligned}

$\begin{align} x' &= \gamma(x-ut) \\ t' &= \gamma(t-ux/c^2)\ , \end{align}$

где рамка $S'$ движется со скоростью $u$ относительно рамы $S$ и два кадра совпадают в $t=t'=0$ .

Итак, я запутался: как узнать, какой должна быть отмеченная система координат в данной ситуации? (Я знаю, что мог бы просто применить формулу сокращения длины, но я хотел бы понять это таким образом).

Я думал, что разобрался и что это зависит от направления движения: $S'$ движется со скоростью $u>0$ в положительном направлении относительно $S$ . И на первый взгляд это работает для моего конкретного примера, который выглядит так:

Вопрос: Мюон рождается на высоте 6 км над Землей и движется к ней со скоростью $0.998c$ . Каково расстояние до Земли, если смотреть из кадра, движущегося вместе с мюоном?

A: Таким образом, следуя приведенной выше логике, сначала все кажется прекрасным. Я выбираю две системы отсчета, в которых положение мюона равно $y_{\mu}=y_{\mu}'=0$ в $t=t'=0$ , и $y$ - оси направлены вверх от земли. В этой установке рама, стоящая неподвижно относительно земли, движется в положительном направлении другой, поэтому последняя должна быть отмечена.

Затем расстояние до земли измеряется по обеим системам координат, по-прежнему на $t=t'=0$ (На самом деле я тоже немного не в курсе, можно ли так сказать?). В отмеченной рамке, стоящей неподвижно относительно земли, находим $y'_E=-6\text{km}$ . Таким образом, расстояние в этой системе координат равно

л^{'} "=" у_{мю}^{'} - у_{Е}^{'} "=" 6 км .

$L'=y_{\mu}'-y'_E=6\text{km}\ .$

Теперь в другом кадре, движущемся вместе с мюоном, получаем

л "=" у_{мю} - у_{Е} "=" \frac{у_{мю}^{'}}{γ} + ты т - (\frac{у_{Е}^{'}}{γ} + ты т) "=" \frac{л^{'}}{γ} "=" 379 м,

$L=y_{\mu}-y_E=\frac{y_{\mu}'}{\gamma}+ut-\biggl(\frac{y_E'}{\gamma}+ut\biggr)=\frac{L'}{\gamma}=379\text{ m}\ ,$

и это дает правильный, сокращенный по длине ответ.

ПРОБЛЕМА: Если я сейчас переверну систему координат вверх дном, то есть укажу от мюона к Земле (что должно быть совершенно нормально), я получу неправильный ответ, используя ту же логику. В этом случае кадр, движущийся с мюоном, движется в положительном направлении относительно другого, поэтому я получаю противоположный выбор того, какой кадр помечен.

Где ошибка в логике?

Дэвид З.

О, это очень хорошо написанный вопрос!

умный маг

Не могли бы вы записать ответ, к которому пришли, для «перевернутой» системы координат?

Ответы (1)

Преобразования Лоренца: какая система координат отмечена?

О, это очень хорошо написанный вопрос!
Не могли бы вы записать ответ, к которому пришли, для «перевернутой» системы координат?

innisfree · Answer 1

«Отметка» (или, возможно, более правильно «штрих») различает две инерциальные системы отсчета. Вы можете «пометить» любой кадр, как пожелаете — это просто обозначение, но соглашение, которое я устанавливаю ниже, очень распространено.

Длина — это пространственное расстояние между «событиями», которые происходят одновременно — события находятся спереди и сзади объекта.
«Правильная длина» - это длина в кадре, в которой передняя и задняя часть объекта находятся в состоянии покоя. Это незагрунтованная рама $O$ . Обозначим правильную длину через $L_0$ .
«Сжатая длина» - это длина в кадре, в которой передняя и задняя часть объекта не находятся в состоянии покоя, а движутся с постоянной скоростью. $v$ . Это загрунтованная рама $O^\prime$ . Обозначим сокращенную длину через $L^\prime$

Четырехвектор между передней и задней частью объекта в его системе покоя равен

Δ {Икс}^{мю} "=" {Икс}_{Ф р о н т}^{мю} - {Икс}_{Б а с к}^{мю} "=" (0, л_{0}, 0, 0) .

$\Delta x^\mu = x^\mu_{Front} - x^\mu_{Back} = (0, L_0, 0, 0).$ При переходе к системе отсчета, в которой объект не покоится, находим

(Δ {Икс}^{мю})^{'} "=" (γ β л_{0}, γ л_{0}, 0, 0) .

$(\Delta x^\mu)^\prime = (\gamma\beta L_0, \gamma L_0, 0, 0).$ Теперь передние и задние события не происходят одновременно. Делаем поправку на это, находя обычную формулу сокращения длины:

л^{'} "=" γ л_{0} - β дельта т "=" γ л_{0} - β^{2} γ л_{0} "=" л_{0} / γ

$L^\prime = \gamma L_0 - \beta \delta t = \gamma L_0 - \beta^2\gamma L_0 = L_0 / \gamma$ В этой формуле длина штриха

L^{'}

$L^\prime$ должна быть длина в кадре, в котором объект не находится в состоянии покоя. Вы можете выбрать другое соглашение для

O^{'}

$O^\prime$ и

O

$O$ как угодно, но физику изменить нельзя - длина сжимается в кадре, в котором объект не покоится.

Спасибо! Один вопрос: в этом случае конечные точки (т.е. мюон и земля) не находятся в покое ни в одной из систем координат. Могли бы вы сказать, что что-то вроде «мерной линейки», которая использовалась между Землей и появлением мюона, находится в покое в земной системе координат? Кроме того: разве нельзя точно понять, как это сделать, просто используя уравнения преобразования Лоренца, как они есть в ОП?

Преобразования Лоренца: какая система координат отмечена?

Йорген

Дэвид З.

умный маг

Ответы (1)

innisfree

Йорген

Парадокс преобразования Лоренца

Путаница сокращения длины

Применение преобразований Лоренца и замедления времени

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Невозможно согласовать мое понимание сокращения длины с преобразованием Лоренца

Обратные преобразования Лоренца

С какой скоростью замедленное время будет в два раза больше, чем на Земле [закрыто]

Релятивистская кинематика — распад двухчастичных частиц

Переход от E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 к E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [закрыто]

Отражающая фотонная ракета