Релятивистская кинематика — распад двухчастичных частиц

Рассмотрим сценарий, когда частица массы$M$распадается на две более легкие частицы массы$m_1$и$m_2.$В центре масс рамы (т.е.$\mathbf{p}_1$и$\mathbf{p}_2$, импульсы произведений, сумма равна нулю) уравнения для величины импульсов каждой из частиц выглядят следующим образом:

$$p=\left|\mathbf{p}_1\right|=\left|\mathbf{p}_2\right|=\frac{\left[\left(M^2-(m_1+m_2)^2\right)\left(M^2-(m_1-m_2)^2\right)\right]^{1/2}}{2M}\,\,\,[\textrm{see ref., Eq. (45.16)}]$$

Однако, когда я пытаюсь вычислить его, используя базовые принципы, я прихожу к другому результату. Вот моя попытка:

В системе центра масс до распада полная энергия системы была$E^2=M^2c^4$. После распада полная энергия определялась выражением

$$\begin{align*}E'^2&=p^2c^2+m_1^2c^4+p^2c^2+m_2^2c^4\\ &=2p^2c^2+(m_1^2+m_2^2)c^4\end{align*}$$

Поскольку предполагается, что энергия сохраняется (система отсчета та же), это означает, что

$$\begin{align}M^2c^4&=2p^2c^2+(m_1^2+m_2^2)c^4\\ \implies p^2&=\frac{c^2}{2}\left(M^2-(m_1^2+m_2^2)\right)\\ p&=\frac{c}{\sqrt{2}}\sqrt{M^2-(m_1^2+m_2^2)}\end{align}$$

Мой ответ кажется совершенно отличным от того, что я должен получить, поэтому я уверен, что мой подход ужасно недействителен. Хотя я не знаю как. Не могли бы вы указать на мои ошибки и, возможно, направить меня в правильном направлении?

[ссылка] http://pdg.lbl.gov/2013/reviews/rpp2013-rev-kinematics.pdf