Переход от E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 к E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [закрыто]

Question

Переход от E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 к E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [закрыто]

ODP

Каков каждый математический шаг (подробно), который можно было бы предпринять, чтобы получить:

$E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$

к

$E = \gamma mc^2$ ,

где $\gamma$ – релятивистский коэффициент расширения.

Это для объекта в движении.

ПРИМЕЧАНИЕ: в ответ я хотел бы получить полное объяснение. Например, при объяснении того, как получить $x$ от $\frac{x+2}{2}=4$ , а не давать ответ " $\frac{x+2}{2}=4$ , $x+2 = 8$ , $x = 6$ дайте один, где вы описываете каждый шаг, например, «умножить на 2 с обеих сторон, -2 с обеих сторон», но, конечно же, с цифрами на дисплее.

Джон Ренни

Я изменился

m

$m$ к

m_{0}

$m_0$ чтобы было понятно, что это масса покоя. Если вы не имели в виду это, пожалуйста, верните мое редактирование.

ODP

О, подождите, я думаю, это для случая, когда он движется, потому что это уравнение

E = γ m c^{2}

$E=\gamma mc^2$ показывает, как если бы объект достиг скорости света, он бы использовал бесконечную энергию (хотя это не совсем так), и, насколько мне известно,

E^{2} - p^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}

$E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ предназначен для объектов, которые движутся, так что наверняка

E = γ m c^{2}

$E=\gamma mc^2$ будет для движущегося объекта?

ODP

@JohnRennie я отменил ваше редактирование, но, пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь

Дэвид З.

Нет ничего плохого в использовании

m

$m$ для массы покоя, так как это современная условность.

Дэвид З.

Между прочим, хотя вам разрешено спрашивать об этом, уровень математической детализации, который вам, кажется, нужен, превышает ожидаемые ответы на этом сайте. Другими словами, объяснять основы алгебры на самом деле не наша работа.

ODP

Кто сказал, что это будет элементарно?

ODP

Как

m

$m$ вот для тела в движении, должно быть

m_{rel}

$m_\text{rel}$

Ответы (3)

Переход от E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 к E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [закрыто]

Я изменился $m$ к $m_0$ чтобы было понятно, что это масса покоя. Если вы не имели в виду это, пожалуйста, верните мое редактирование.
О, подождите, я думаю, это для случая, когда он движется, потому что это уравнение $E=\gamma mc^2$ показывает, как если бы объект достиг скорости света, он бы использовал бесконечную энергию (хотя это не совсем так), и, насколько мне известно, $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ предназначен для объектов, которые движутся, так что наверняка $E=\gamma mc^2$ будет для движущегося объекта?
@JohnRennie я отменил ваше редактирование, но, пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь
Нет ничего плохого в использовании $m$ для массы покоя, так как это современная условность.
Между прочим, хотя вам разрешено спрашивать об этом, уровень математической детализации, который вам, кажется, нужен, превышает ожидаемые ответы на этом сайте. Другими словами, объяснять основы алгебры на самом деле не наша работа.
Кто сказал, что это будет элементарно?
Как $m$ вот для тела в движении, должно быть $m_\text{rel}$

kηives · Answer 1

Начиная с заданного вами уравнения, мы добавляем $p^2 c^2$ в обе стороны, чтобы получить

Е^{2} "=" м^{2} с^{4} + п^{2} с^{2}

$E^2=m^2 c^4 + p^2 c^2$ теперь, используя определение релятивистского импульса

p = γ m v

$p=\gamma m v$ мы подставляем это выше, чтобы получить

Е^{2} "=" м^{2} с^{4} + (γ м в)^{2} с^{2} "=" м^{2} с^{4} + γ^{2} м^{2} в^{2} с^{2}

$E^2 = m^2 c^4 +(\gamma m v)^2 c^2=m^2 c^4 +\gamma^2 m^2 v^2 c^2$ Теперь, выделив общий

m^{2} c^{4}

$m^2 c^4$ от обоих слагаемых по правой стороне в ожидании ответа получаем

Е^{2} "=" м^{2} с^{4} (1 + \frac{в^{2}}{с^{2}} γ^{2})

$E^2=m^2 c^4 (1+\frac{v^2}{c^2}\gamma^2)$ Теперь, используя определение

γ

$\gamma$ как

γ "=" \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}}

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ и заменив это на

γ

$\gamma$ мы получаем

Е^{2} "=" м^{2} с^{4} (1 + \frac{\frac{в^{2}}{с^{2}}}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}})

$E^2=m^2 c^4 \left(1+\frac{\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$ и приведя к общему знаменателю элемент в скобках, получим

Е^{2} "=" м^{2} с^{4} (\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) "=" м^{2} с^{4} γ^{2}

$E^2=m^2 c^4 \left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)=m^2 c^4 \gamma^2$ Извлечение квадратного корня из обеих частей дает

Е "=" \pm γ м с^{2}

$E=\pm \gamma mc^2$ Надеюсь это поможет.

Рон Маймон · Answer 2

Сначала вы устанавливаете $c=1$ .

Е^{2} - п^{2} "=" м^{2}

$E^2 - p^2 = m^2$

Тогда вы думаете об этом , это говорит о том, что релятивистская длина вектора импульса энергии равна «m». Отношение p к E — это скорость, поскольку именно это и происходит с четырехвектором под ускорением, он получает компоненты пространства и времени, соотношение которых и есть скорость. От $|p|=v|E|$ , ты подставляешь,

Е^{2} (1 - в^{2}) "=" м^{2}

$E^2(1-v^2) = m^2$

И

Е "=" \frac{м}{\sqrt{1 - в^{2}}}

$E= { m\over\sqrt{1-v^2}}$

Сделанный.

Как правило, это признак полной некомпетентности не устанавливать c равным 1, это просто делает смехотворно тривиальные геометрические формулы, которые, как вы можете видеть выше, абсолютно прозрачными, выглядят изощренными или сложными.

Да, каждая формула, приправленная умножениями и делениями на c, когда вы могли бы просто сделать это в начале, приводит к большой путанице и просто плохо читается (я бы не хотел, чтобы это было в программном коде, не говоря уже о тексте). написано для людей). Я думаю, хотя это немного похоже на трудный для чтения код, написанный умными программистами - не признак некомпетентности, просто неприятная привычка - его легко читать, если вы много этим занимались.
@Dmytry: Это хорошая аналогия, это похоже на (слегка) запутанный C --- каждый опытный человек игнорирует c в голове и видит вывод, как я написал выше, независимо от того, как это написано на странице. Но если вы затем расшифруете свои мысли, добавив букву «с», это затенит ваши рассуждения слоем алгебры, который студент не может разглядеть, и сделает вас волшебником для студента. Именно такие вещи убивают педагогику физики и являются причиной удаления всех посторонних констант из всех формул при первом проходе.

qoqosz · Answer 3

Начиная с релятивистского импульса

п^{2} "=" {(γ м в)}^{2} "=" \frac{м^{2} в^{2}}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}

$p^2 = \left( \gamma m v \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ один, чем получает

Е "=" \pm \sqrt{м^{2} с^{4} + п^{2} с^{2}} "=" \pm \sqrt{м^{2} с^{4} + \frac{м^{2} в^{2} с^{2}}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}} "=" \pm м с^{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}} + \frac{\frac{в^{2}}{с^{2}}}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}} "=" \pm γ м с^{2}

$E = \pm \sqrt{ m^2 c^4 + p^2 c^2 } = \pm \sqrt{ m^2 c^4 + \frac{m^2 v^2 c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} } = \pm mc^2 \sqrt{\frac{1- \frac{v^2}{c^2}}{1- \frac{v^2}{c^2}} + \frac{\frac{v^2}{c^2}}{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \pm \gamma mc^2$

То, на что я надеялся, будет объяснением того, как «тогда можно получить» следующую часть.
@ Олли, объяснение прямо в уравнениях в этом ответе.

Переход от E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 к E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [закрыто]

ODP

Джон Ренни

ODP

ODP

Дэвид З.

Дэвид З.

ODP

ODP

Ответы (3)

kηives

Рон Маймон

Дмитрий

Рон Маймон

qoqosz

ODP

Дэвид З.

Откуда взялось уравнение p=1cT2+2mTc2----------√p=1cT2+2mTc2p=\frac{1}{c}\sqrt{T^2 +2mTc^2}?

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Невозможно согласовать мое понимание сокращения длины с преобразованием Лоренца

Обратные преобразования Лоренца

С какой скоростью замедленное время будет в два раза больше, чем на Земле [закрыто]

Означает ли сохранение энергии сохранение массы?

Релятивистская кинематика — распад двухчастичных частиц

Разве релятивистское увеличение массы не означает увеличение энергии, высвобождаемой при превращении материи в энергию?

Может ли протон распасться на элементарные частицы сам по себе, когда его скорость приближается к скорости света?