При движении по окружности является ли траектория результирующим путем заданной скорости и скорости, обусловленной центростремительным ускорением?

Для начала кажется, что вы думаете о равномерном круговом движении, поскольку вы зациклены на центростремительном ускорении и ничего не упоминаете о тангенциальном ускорении. Поэтому пока предположим, что речь идет исключительно о равномерном движении по окружности.

Для кругового движения нам нужна центростремительная сила или ускорение, т.е. сила, перпендикулярная направлению движения во все моменты времени. Так что без какой-либо перпендикулярной составляющей силы круговое движение не произойдет.

Означают ли приведенные выше утверждения, что круговой путь является результирующим путем заданной скорости и скорости, обусловленной центростремительным ускорением?

Если под "скоростью из-за центростремительного ускорения" вы имеете в виду$\text d\mathbf v=\mathbf a\,\text dt$, тогда да; это просто применение определения ускорения$\mathbf a=\text d\mathbf v/\text dt$к скорости:

$$\mathbf v(t+\text dt)=\mathbf v(t)+\mathbf a\,\text dt$$

Это верно для любого движения, а не только для движения по кругу.

Почему частица не приобретает никакой скорости в центростремительном направлении, хотя имеет некоторое ускорение в этом направлении? Горизонтально брошенное тело приобретает некоторую скорость в направлении mg, поэтому тело, совершающее круговое движение, также должно приобретать некоторую скорость в центростремительном направлении.

Следует помнить, что центростремительное направление изменяется по мере того, как частица движется по окружности. Частица действительно набирает скорость в центростремительном направлении, но, поскольку за мгновение до этого скорость была вдоль круговой траектории, как только объект улавливает эту составляющую скорости, эта составляющая больше не является полностью центростремительной. Скорость действительно изменяется, чтобы быть более «выровненной» с вектором ускорения, но поскольку вектор ускорения всегда меняет направления, вектор скорости будет постоянно пытаться выровняться с разными направлениями, и поэтому мы получаем круговое движение, которое вы описываете.

Это отличается от приведенного вами случая со снарядом, где вертикальное направление является постоянным направлением.

Я добавляю картинку, чтобы показать, что я думаю о круговом движении. Представьте картинку как увеличенное изображение очень маленького расстояния.

Здесь$v′$показывает скорость из-за центростремительного ускорения, а точка в центре показывает причину центростремительного ускорения, а пунктирные линии представляют путь, который он прошел бы, если бы на него не было силы.

В вашей схеме есть две проблемы:

1)Похоже, что у вас слишком большое центростремительное ускорение.

2) Похоже на твой$\Delta t$слишком большой

Для того, чтобы произошло круговое движение, центростремительное ускорение должно быть в точности равно$v^2/r$. Недостаточно, чтобы ускорение имело компонент, перпендикулярный скорости во все моменты времени. Из вашей схемы видно, что$v'=a\text dt$слишком велик.

Чтобы изучить это подробнее, давайте численно решим дифференциальные уравнения с большим, чем требуется, центростремительным ускорением. Для плоского движения в полярных координатах мы обычно имеем дифференциальные уравнения

$$a_r=\ddot r-r\dot\theta^2$$ $$a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta$$

Так как мы не предполагаем касательных сил, положим$a_\theta=0$. Теперь, если мы правильно сделали$a_r=-r\dot\theta^2$, то у нас останется$\ddot r=0$, что дало бы нам наше равномерное круговое движение для$\dot r(t=0)=0$. Однако давайте наложим центростремительное ускорение, которое будет немного больше этого (все еще зависит от скорости)$a_c=-1.1r\dot\theta^2$, поэтому имеем дифференциальное уравнение$\ddot r+0.1\cdot r\dot\theta^2=0$.

Решение системы дифференциальных уравнений

$$\ddot r+0.1\,r\dot\theta^2=0$$ $$r\ddot\theta+2\,\dot r\dot\theta=0$$ с начальными условиями (отбрасывание единиц)$r(0)=1$,$\dot r(0)=0$,$\theta(0)=0$,$\dot\theta(0)=1$, получаем траекторию

И мы видим, что мы закручиваемся внутрь

Точно так же для$a_c=-.9\,r\dot\theta^2$, получаем траекторию, уходящую от начала координат

Конечно, это не совсем так, как ваша диаграмма, так как теперь ускорение не совсем перпендикулярно скорости, но если бы у нас была спиральная траектория, где ускорение всегда было бы перпендикулярно скорости, то нам пришлось бы отказаться от предположения о неперпендикулярности скорости. тангенциальное ускорение.

Однако это относится ко второй проблеме на вашей диаграмме; вы применяете перпендикулярное ускорение только в заданное время, а не по всей траектории. Теперь я знаю, что мы всегда можем аппроксимировать изменение скорости как$\mathbf v(t+\Delta t)\approx\mathbf v(t)+a\Delta t$, но если$\Delta t$слишком велик, то вы не получите правильную траекторию.

Ваше утверждение о том, что «Горизонтально спроецированное тело приобретает некоторую скорость в направлении$mg$" правильно. И направление набранной скорости всегда вниз, так как мы предположили, что для снарядов малой дальности гравитация действует в одном направлении (обычно$-\hat j$). Но для кругового движения это не так, потому что здесь направление центростремительного ускорения не фиксировано.

Кроме того, ускорение — это то, что изменяет скорость. Это означает не только величину, но и направление, поскольку скорость является векторной величиной. При круговом движении центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости частицы, т.е. никакая составляющая центростремительного ускорения не направлена ​​вдоль скорости. Следовательно, центростремительное ускорение отвечает только за изменение направления движения (скорости) тела в сторону центростремительного ускорения.

Но, поскольку направление центростремительного ускорения не фиксировано, направление скорости частицы также не является фиксированным.

Означают ли приведенные выше утверждения, что круговой путь является результирующим путем заданной скорости и скорости из-за центростремительного ускорения?

Да.

1: Если да, то почему этот результирующий путь всегда ближе к направлению заданной скорости, а не к центростремительному ускорению, которое сообщает скорость телу в центростремительном направлении?

Потому что перпендикулярная составляющая скорости, вызванная центростремительным ускорением, крошечная, крошечная, крошечная. На самом деле она ничтожно мала и ничтожно недолговечна. Он имеет размер математического идеала, который только поворачивается, не вызывая изменения величины.

2: Если нет, то почему частица не получает никакой скорости в центростремительном направлении, хотя имеет некоторое ускорение в этом направлении? Горизонтально брошенное тело приобретает некоторую скорость в направлении mg , поэтому тело при круговом движении также должно приобретать некоторую скорость в центростремительном направлении.

Ответ снова таков: потому что эта новая составляющая скорости крошечная, крошечная, крошечная. Настолько крошечный и недолговечный, что как только происходит малейшее изменение, вызывающее поворот, эта составляющая отворачивается, чтобы не изменить величину.

Этот ответ состоит из двух частей. В первой части представлена ​​основная работа по представлению метода комплексных чисел для анализа плоского кругового движения, а во второй показано, как его можно использовать для получения простых ответов на все ваши вопросы.

---

Настройка:

Самое прозрачное и простое объяснение можно сделать с помощью комплексных чисел. Рассмотрим следующую функцию:

$$z(t) = r(t) e^{ i \theta(t)}$$

Это должно быть самоочевидной формулой, если вы сделали полярную форму комплексных чисел. Просто рассмотрите полярную форму, но с изменением величины и угла как некоторых функций времени. Чтобы найти ускорение тела, мы должны дважды продифференцировать эту функцию положения.

$$v(t) = \frac{d}{dt} \big( r e^{ i \theta } \big) = \bigg[ \dot{r} e^{i \theta} +i r \dot{\theta} e^{i \theta } \bigg]$$

И еще раз различая,

$$a(t) = \ddot{r}e^{i \theta } + i \dot{r} \dot{\theta} e^{ i \theta } + i [\dot{r} \dot{\theta}e^{i \theta } + r \ddot{\theta} e^{i \theta} +i r \dot{\theta}^2e^{ i \theta} ]= \ddot{r}e^{i \theta} - r \dot{\theta}^2e^{i \theta} +i [2 \dot{r} \dot{\theta}e^{i \theta } + r \ddot{\theta} e^{i \theta} ]$$

Или,

$$a(t)= \ddot{r}e^{i \theta} - r \dot{\theta}^2e^{i \theta} +i [2 \dot{r} \dot{\theta}e^{i \theta } + r \ddot{\theta} e^{i \theta} ]$$

---

Теперь, имея в руках самое общее уравнение, мы можем ответить на ваши вопросы:

1. Означают ли приведенные выше утверждения, что круговой путь является результирующим путем заданной скорости и скорости, обусловленной центростремительным ускорением?

Для кругового пути единственным условием является то, что$\dot{r} = 0$. Применяя это соображение к нашей формуле ускорения:

$$a(t) = -r \dot{\theta}^2 e^{i \theta} + i[ r \ddot{\theta} e^{i \theta} ]$$

Видно, что первый член направлен в ту же сторону, что и$r(t)$а второй член перпендикулярен$r(t)$[умножение на i]. Первый термин обозначает центростремительное «тяговое усилие», а второй термин обозначает тангенциальное ускорение.

Также обратите внимание, что, поскольку путь является постоянным,$r(t)$не меняется и, следовательно, скорость определяется выражением:

$$v(t) = [ i r \dot{\theta} e^{i \theta}] = i \dot{\theta} z(t)$$

Даже в случае неравномерного кругового движения легко обнаружить, что скорость всегда перпендикулярна положению! Это потому, что мы хотим, чтобы частица двигалась по кривой. Вы можете легко убедиться, что частица упадет с кривой, если ее скорость не касается кривой во всех точках.

Другой способ думать об этом состоит в том, что ускорение в момент времени будет иметь эффект только в следующее мгновение. Если частица имеет касательный вектор скорости в точке, центростремительное ускорение в этой точке «повернет» скорость, когда она переместится на небольшую длину дуги кривой... но теперь в этой новой точке направление центростремительного ускорения изменилось на размещение следующего поворота!

Чтобы получить случай спиралевидного движения, которое вы описали, просто отклонитесь от наложения условия, что расстояние от начала координат постоянно! (т.е.$\frac{dr}{dt} \neq 0$)

---

Примечание:$r(t)$и$\theta(t)$чисто настоящие!!

Вы можете найти больше об этих методах комплексных чисел в Tristan Needham: Visual Complex Analysis.

Надеюсь это поможет!

почему частица не приобретает никакой скорости в центростремительном направлении, хотя имеет некоторое ускорение в этом направлении?

Так как каждое центростремительное ускорение сопровождается центробежным ускорением сопротивления:

$${\vec a_{~\text{centrifugal}}}=\omega ^{2}{\vec {r}}$$

Горизонтально брошенное тело приобретает некоторую скорость в направлении$mg$

Да, потому что составляющая угловой скорости пренебрежимо мала, поэтому отсутствие центробежной силы = падение обратно на Землю, если только вы не приложите столько кинетической энергии, равной потенциальной энергии гравитации, чтобы она могла избежать влияния гравитационного поля и стать спутником Земли или свободно движущимся объектом в Вселенная, подверженная захвату гравитационным полем другого тела.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Кстати, ваши изображения представления скорости из-за центростремительного ускорения неверны. Если тело, как вы изобразили, движется по спиральной траектории, то это означает, что центростремительная сила и ускорение переменны, т.е. не постоянны. Просто попробуйте нарисовать относительный центр сегмента кривой, и вы увидите, что он будет другим, в зависимости от того, какой сегмент вы выберете:

Значит, со временем частица притягивается к разным "временным местам" до тех пор, пока где-то не сойдется (или не сойдется).