Центростремительное ускорение почти перпендикулярно скорости или точно перпендикулярно скорости?

Чего-то не хватает в моих рассуждениях?

Да. Вы рассматриваете скорость так, как если бы она была постоянной в течение конечного времени, а это не так. Скорость меняется со временем, и ее можно рассматривать как постоянную только в течение бесконечно малого времени. Но бесконечно малые не работают так, как вы написали.

С$|\vec v|=\sqrt{\vec v^2}=\sqrt{\vec v \cdot \vec v}$мы можем написать:

$$d|\vec v|=|\vec v + d\vec v|-|\vec v|$$ $$= \sqrt{\left(\vec v + d \vec v \right)^2} - \sqrt{ \vec v^2}$$ произведения бесконечно малых выпадают, и мы имеем $$= \sqrt{\vec v^2 + 2 \vec v \cdot d\vec v} - \sqrt{\vec v^2}$$ мы можем последовательно расширить первый радикал, чтобы получить $$= \sqrt{\vec v^2} + \frac{\vec v \cdot d\vec v}{\sqrt{\vec v^2}} - \sqrt{\vec v^2}$$ $$d|\vec v|=\hat v \cdot d\vec v$$ Так,$d|\vec v|$может быть нулевым, если$d\vec v$перпендикулярно$\vec v$.

Заметим, что во всех приведенных выше выводах вектор$\vec v+ d\vec v$получается из стандартного евклидова векторного сложения.$\vec v$бесконечно мало отличается от$\vec v + d\vec v$обычным способом.

Редактировать: для получения дополнительной информации о том, как работают бесконечно малые, дифференциалы и т. д., см.: https://people.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf , особенно стр. 34.

Выше я немного злоупотребил обозначениями, написав

$$dy=y(x+dx)-y(x)$$ вместо более полного и правильного $$dy=\text{st}\left( \frac{y(x+dx)-y(x)}{dx} \right) dx$$ Деление на$dx$, принимая стандартную часть,$\text{st}$, и умножая на$dx$это то, что удаляет произведения бесконечно малых.

Я думал, что это не было серьезным злоупотреблением обозначениями, поскольку в других контекстах$dx\ne 0$и$dx^2=0$является определяющим свойством бесконечно малых величин, но эти основные свойства бесконечно малых величин и дифференциалов могут быть поняты не всеми читателями.

Вы правы в одном: если постоянная сила$\vec F$действует на объект со скоростью$\vec v$в течение периода времени$\Delta t$, то если эта сила перпендикулярна$\vec v$, скорость$\vert \vec v \vert$спустя время$\Delta t$не будет таким, как раньше.

Зная, что при равномерном движении по окружности скорость не меняется, вы предполагаете, что для спасения ситуации сила должна быть направлена ​​немного наклонно назад. Это близко к тому, что происходит на самом деле, но тоже неправильно. Вы должны заметить, что центростремительная сила не является постоянной силой, а зависит от положения объекта на окружности. Итак, вот что происходит:

В любой момент$t$со временем центростремительная сила$\vec F(t)$перпендикулярно скорости$\vec v(t)$. В любой более поздний момент времени$t+\Delta t$, центростремительная сила$\vec F(t+\Delta t)$по-прежнему перпендикулярно скорости$\vec v(t+\Delta t)$. Но$\vec F(t+\Delta t)$не перпендикулярно$\vec v(t)$больше. Вместо этого, если$\Delta t$достаточно мало, то$\vec F(t+\Delta t)$будет направлен почти перпендикулярно, но слегка наклонен назад по отношению к$\vec v(t)$, аналогично тому, что вы предлагаете.

Таким образом, решение вашей дилеммы не в том, что центростремительная сила в данный момент направлена ​​назад по отношению к скорости в данный момент. Дело в том, что центростремительная сила в более поздние моменты направлена ​​назад по отношению к скоростям в более ранние моменты. Но если мы сравним силу и скорость в один и тот же момент, они будут перпендикулярны.

Или по-другому на это посмотреть: суммарный импульс или средняя сила за период времени$\Delta t$точка слегка наклонена назад. Сила в точном начале временного интервала$\Delta t$не.

Когда мы пишем

$$\mathbf v(t+\delta t)=\mathbf v(t)+\mathbf a_c(t)\cdot\delta t$$ в$\mathbf a_c(t)$перпендикулярно$\mathbf v(t)$, и$\mathbf a_c(t+\delta t)$перпендикулярно$\mathbf v(t+\delta t)$(и так далее). Для конечных$\delta t$,$\mathbf a_c(t)$не перпендикулярно$\mathbf v(t+\delta t)$, но это не проблема, поскольку они существуют в разное время.

Затем, чтобы продолжить проблему, мы принимаем предел как$\delta t\to0$, так что на самом деле не будет различия между этими разными моментами времени для бесконечно малой разницы во времени. Скорость и ускорение изменяются вместе.