При потенциале V(x)=ax6V(x)=ax6V(x)=ax^6 уровень квантованной энергии EEE зависит от какой степени nnn?

Для больших$n$квазиклассическое приближение справедливо, и для связанных состояний мы можем использовать условие квантования Бора-Зоммерфельда:

$n = \frac{1}{h}\oint p dq$, куда$n$- главное квантовое число,$h$, постоянная Планка,$q$, положение и$p$, импульс на классической траектории.

В нашем случае из-за сохранения энергии:

$\frac{p^2}{2m}+ax^6 = E \rightarrow p = \sqrt{2m(E-ax^6)}$,

куда$m$это масса и$E$, полная энергия.

Подстановкой получаем:

$n = \frac{1}{h}\int_{-(E/a)^{1/6} }^{(E/a)^{1/6} }\sqrt{2m(E-ax^6)} dx$,

где интегрирование происходит между двумя поворотными точками. Путем масштабирования переменной интегрирования:

$x =( \frac{E}{a})^{1/6}y$

Мы получаем:

$n = \frac{\sqrt{2m}}{h}{(\frac{E}{a})}^{2/3}\int_{-1 }^{1} \sqrt{(1-y^6)} dy$.

Таким образом:

$E \propto n^{3/2}$

Возможно, вы не в курсе, но квантовое число «n» имеет классическую интерпретацию как переменная действия «J». Переменная действия измеряет площадь в фазовом пространстве классической орбиты,

А соответствие между J и n было известно до того, как была разработана квантовая теория. Легко вычислить форму орбиты в фазовом пространстве для любого значения J и выяснить, какова классическая зависимость между E и J. Это решило бы вашу проблему в пределе корреспонденции, в пределе больших n.