Приближение ВКБ на линейном + гармоническом потенциале

Question

Приближение ВКБ на линейном + гармоническом потенциале

Студент-физик

У меня есть быстрый вопрос:

Я выполнил приближение ВКБ, чтобы найти энергии связанных состояний в симметричных потенциалах (квадратный, гармонический, ...). Для этого я просто нахожу «поворотные точки», устанавливая $p=0$ и используя эти поворотные точки как границы моего интеграла:

\int_{{Икс}^{1}}^{{Икс}^{2}} п (Икс) г Икс "=" (н - \frac{1}{2}) π ℏ

$\int_{x^1}^{x^2} p(x) dx=\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi \hbar$ где

p = \sqrt{2 m (E - V)}

$p= \sqrt{2m(E-V)}$ .

Столкнулся с проблемой несимметричного потенциала:

В (Икс) "=" {\begin{cases} м г Икс & Икс > 0 \\ \frac{1}{2} к {Икс}^{2} & Икс \leq 0 \end{cases}

$V(x)=\begin{cases} mgx & x>0\\ \frac{1}{2}kx^2 & x\leq 0 \end{cases}$

Я нашел поворотные моменты:

Когда $x>0$ поворотный момент: $\frac{E}{mg}$ и когда $x \leq 0$ , поворотный момент $-\sqrt{\frac{2E}{k}}$

Как мне «склеить» эти два потенциала вместе, чтобы найти уравнение для связанных состояний этого потенциала?

Будет ли это просто:

\int_{\sqrt{\frac{2 Е}{к}}}^{0} \sqrt{2 м (Е - \frac{1}{2} к {Икс}^{2})} г Икс + \int_{0}^{\frac{Е}{м г}} \sqrt{2 м (Е - м г Икс)} г Икс "=" (н - \frac{1}{2}) π ℏ ?

$\int_{\sqrt{\frac{2E}{k}}}^0 \sqrt{2m(E-\frac{1}{2}kx^2)}\ dx + \int _0^{\frac{E}{mg}} \sqrt{2m(E-mgx)}\ dx =\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi \hbar~?$

Ответы (1)

Приближение ВКБ на линейном + гармоническом потенциале

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Нижний предел должен быть отрицательным:

\int_{- \sqrt{2 Е / к}}^{0} \sqrt{2 м (Е - \frac{1}{2} к {Икс}^{2})} г Икс + \int_{0}^{Е / м г} \sqrt{2 м (Е - м г Икс)} г Икс "=" (н - \frac{1}{2}) π ℏ

$\int_{\color{red}-\sqrt{2E/k}}^0 \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^2\right)} dx + \int _0^{E/mg} \sqrt{2m(E-mgx)} dx =\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi \hbar$ но ответ да : это правильное выражение. Общее выражение для приближения ВКБ имеет вид

\begin{matrix} (ВКБ) & \int_{{Икс}^{1}}^{{Икс}^{2}} \sqrt{2 м (Е - В (Икс))} г Икс "=" (н - \frac{1}{2}) π ℏ \end{matrix}

$\int_{x^1}^{x^2}\sqrt{2m(E-V(x))} dx=\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi \hbar\tag{WKB}$ и, в вашем случае, у вас есть кусочно-определенный потенциал, но это не делает

V (x)

$V(x)$ особенный. Если у тебя есть

V (x) = e^{- | x |} \sin (x)

$V(x)= \mathrm e^{-|x|}\sin (x)$ вы бы использовали (WKB) без колебаний. Но в зависимости от того, как вы определяете

\sin

$\sin$ функция, это

V (x)

$V(x)$ также будет кусочно определенной функцией!. Я хочу сказать, что кусочно определенные функции не обязательно отличаются от «стандартных» функций, скажем, полиномов.

Для протокола, если вы возьмете $m=\hbar=k=g=1$ , точные собственные значения $^1$ являются

Е_{н} "=" 0,63202, 1,6935, 2,5459, 3.3407, 4.0698, 4.7604, 5.4229, 6.0551, 6,6657, 7,2596, \dots

$E_n=0.63202,\ 1.6935,\ 2.5459,\ 3.3407,\ 4.0698,\ 4.7604,\ 5.4229, \ 6.0551,\ 6.6657,\ 7.2596,\cdots$ в то время как приближения ВКБ

Е_{н} "=" 0,6705, 1,6860, 2,5524, 3,3386, 4.0706, 4,7623, 5.4221, 6.0557, 6,6672, 7,2597, \dots

$E_n=0.6705,\ 1.6860,\ 2.5524,\ 3.3386,\ 4.0706,\ 4.7623,\ 5.4221, \ 6.0557,\ 6.6672,\ 7.2597,\cdots$

Как видите, аппроксимация получается на удивление хорошей!

$^1$ численно получено с помощью Mathematica .

Приближение ВКБ на линейном + гармоническом потенциале

Студент-физик

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

Почему я не могу добавить энергии в этом примере приближения ВКБ, чтобы получить допустимые энергии для данного потенциала?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Конечная, квадратная, потенциальная яма

Решение квантового радиального уравнения для бесконечного потенциального сферического кольца при l=0l=0l=0

Частица в бесконечной потенциальной яме, удвоенная в размере в момент времени t0t0t_0

Потенциальная яма с 2 дельта-потенциалами

Волновая функция с дельта-потенциалом

QM: решение конечного квадрата потенциала без предположения о симметрии