Причинная и глобальная структура диаграмм Пенроуза

Диаграмма Пенроуза метрики$g_{ab}$используется для представления конформной структуры$g_{ab}$. Как правило, световые лучи движутся со скоростью$\frac{\pi}{4}$от восходящей вертикали и рассматриваемое пространство-время сферически симметрично.

Метрика,$\overline{g_{ab}}$, на диаграмме Пенроуза удовлетворяет:$\overline{g_{ab}}=\Omega^{2} g_{ab}$. Это означает, что времениподобные (нулевые, пространственноподобные) векторы остаются времениподобными (нулевыми, пространственноподобными). Отсюда видно, что все понятия, данные в терминах времяподобных кривых или нулевых кривых в виде множеств$I^{+}, J^{+}$останется прежним. Итак, вся каузальная структура, данная в терминах этих наборов, будет сохранена.

Чаще всего диаграммы Пенроуза используются для изучения поведения на бесконечности различных типов геодезических в максимально расширенном пространстве-времени. Именно поэтому конформные границы$i^{o},i^{+},i^{-}, \cal{I}^{+}$а также$\cal{I}^{-}$являются такой важной особенностью диаграмм, и они в основном представляют собой «границу» на бесконечности определенного класса геодезических. Два пространства-времени имеют одну и ту же диаграмму, если они конформны, это означает, что их поведение на бесконечности одинаково.

При этом существует фундаментальная информация о глобальной структуре пространства-времени и его причинности, которая не представлена, например, геодезическая неполнота (в смысле различения особой точки на конечном расстоянии и бесконечности) или изометрии. Конформная структура сохраняет всю информацию об углах, но теряет информацию о длинах.

Для метрики, которую вы просите об этой статье, может быть полезно.

Мистер С., Пространство Тауба-NUT как контрпример почти всему, Лекции по математике, Vol. 8, стр. 160-169.