Применение комплексных чисел [закрыто]

Если вы рассматриваете реальную мощность и мнимую мощность, мы говорим об активной мощности и реактивной мощности с энергией, хранящейся в катушках индуктивности и конденсаторах. Векторная сумма обоих называется «кажущейся мощностью».

Даже в механических системах есть сложные возвратно-поступательные устройства с запасенной энергией в маховиках или пружинах. Катушки индуктивности и конденсаторы похожи тем, что они могут накапливать энергию, в математике называемую мнимой величиной.

Но когда индуктор открывает ток и возникает дуга, он превращается в реальную энергию, аналогичную замыканию конденсатора на какое-то сопротивление. Хотя это грубый пример, как поставить тормоз ломом на маховик.

Если у вас нет копии томов Фейнмановских лекций по физике , я бы очень рекомендовал ее.

Он блестяще вводит комплексные числа в Vol. 1, «22-5 комплексных чисел» . Но в следующем разделе «22-6 мнимых экспонентов» он делает следующее известное утверждение:

Подведем итог этой, самой замечательной формуле в математике:

$$\begin{equation} \label{Eq:I:22:9} e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \end{equation}$$ Это наша драгоценность.

Здесь слишком много всего, но я отсылаю вас к этой лекции, где он применяет приведенную выше формулу в отношении цепей переменного тока: Том 2. 22 - Цепи переменного тока .

Выдержка:

Мы уже обсуждали некоторые свойства электрических цепей в главах 23 и 25 тома. I. Теперь мы снова коснемся того же материала, но более подробно. Опять же, мы будем иметь дело только с линейными системами и с напряжениями и токами, которые изменяются синусоидально; тогда мы можем представить все напряжения и токи комплексными числами, используя экспоненциальную запись, описанную в главе 23 тома. I. Таким образом, переменное во времени напряжение V(t) запишется

$$\begin{equation} \label{Eq:II:22:1} V(t)=\hat{V}e^{i\omega t}, \end{equation}$$ где $$\hat{V}$$ представляет комплексное число, которое не зависит от t . Понятно, конечно, что фактическое изменяющееся во времени напряжение V(t) определяется действительной частью комплексной функции в правой части уравнения.

Точно так же все другие наши величины, изменяющиеся во времени, будут считаться изменяющимися по синусоидальному закону с одной и той же частотой ω. Итак, мы пишем $$\begin{equation} \begin{aligned} I&=\hat{I}\,e^{i\omega t}\quad(\text{current}),\\[3pt] \xi&=\hat{\xi}\,e^{i\omega t}\quad(\text{emf}),\\[3pt] E&=\hat{E}\,e^{i\omega t}\quad(\text{electric field}), \end{aligned} \label{Eq:II:22:2} \end{equation}$$ и так далее.

Большую часть времени мы будем записывать наши уравнения в терминах V, I, ξ, ... (вместо V̂, Î, ξ̂, ...), помня, однако, что временные вариации указаны в ( 22.2).

В предыдущем обсуждении схем мы предполагали, что такие вещи, как индуктивность, емкость и сопротивление, вам знакомы. Теперь мы хотим более подробно рассмотреть, что подразумевается под этими идеализированными элементами схемы. Начнем с индуктивности.

• Примечание: рассматривайте это не как ответ, а как дополнительную ссылку.

С одной стороны, это значительно упрощает математику. Например, подумайте о решении дифференциальных уравнений. Гораздо проще использовать преобразование Лапласа и решить дифференциальное уравнение, чем использовать классические методы. На ту же тему он дает другой взгляд на ту же проблему с точки зрения частотной области.

Существуют также такие инструменты, как графики Боде, которые легко дают быстрые приблизительные данные о том, как система ведет себя в частотной области.

Если вы проводите анализ во временной области, все выражается в действительных числах — напряжения, токи, сопротивления, потому что это всегда простые мгновенные значения. Когда вы выполняете анализ в частотной области , тогда появляются комплексные числа, потому что такие величины, как напряжения, токи и импедансы, имеют как амплитуду, так и фазу; выражение таких величин в виде комплексных чисел помогает при выполнении вычислений.