Применение поворота к запутанному состоянию

Question

Применение поворота к запутанному состоянию

донкарлос31415

Я хочу понять эксперимент, но я борюсь с (базовой) математической/бракетной нотацией.

В эксперименте два иона запутываются и разделяются на две ямы $A$ и $B$ . Таким образом, спиновое состояние ионов

\frac{1}{\sqrt{2}} [| ↑ ⟩_{А} | ↓ ⟩_{Б} + | ↓ ⟩_{А} | ↑ ⟩_{Б}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right]$ Поскольку затем они хотят управлять переходом боковой полосы, они включают состояние движения ионов как

\frac{1}{\sqrt{2}} [| ↑ ⟩_{А} | ↓ ⟩_{Б} + | ↓ ⟩_{А} | ↑ ⟩_{Б}] | 0 ⟩_{А} | 0 ⟩_{Б}

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B +|\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right] |0\rangle_A |0\rangle_B$ Переход боковой полосы применяется только к иону в яме

A

$A$ и они описывают это как вращение

р (θ, ф) "=" (\begin{array}{r} потому что (θ / 2) & - я е^{- я ф} грех (θ / 2) \\ - я е^{я ф} грех (θ / 2) & потому что (θ / 2) \end{array})

$R(\theta,\phi)=\left(\begin{array}{r} \text {cos}(\theta/2) & -ie^{-i\phi}\text{sin}(\theta/2)\\ -ie^{i\phi}\text{sin}(\theta/2) & \text{cos}(\theta/2)\\ \end{array}\right)$ в основе

(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}) = | ↑ ⟩ | 1 ⟩

$\left(\begin{array}{r} 1\\0 \end{array}\right)=|\uparrow\rangle|1\rangle$ ,

(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array}) = | ↓ ⟩ | 0 ⟩

$\left(\begin{array}{r} 0\\1 \end{array}\right)=|\downarrow\rangle|0\rangle$ .

После применения перехода боковой полосы $R_A(\pi,0)$ они получают состояние:

| ф ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} | ↑ ⟩_{А} [| ↓ ⟩_{Б} | 0 ⟩_{А} - я | ↑ ⟩_{Б} | 1 ⟩_{А}] | 0 ⟩_{Б}

$|f\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle_A \left[|\downarrow\rangle_B|0\rangle_A - i|\uparrow\rangle_B |1\rangle_A \right]|0\rangle_B$

Я новичок в нотации брекетов, и когда я пытаюсь сделать то же самое вычисление, я получаю другое конечное состояние. Может кто-нибудь написать, как подать заявку $R_A(\pi,0)$ приводит к конечному состоянию $|f\rangle$ ? Большое спасибо!

Ответы (1)

Применение поворота к запутанному состоянию

вин92 · Answer 1

Я думаю, что вопрос станет более ясным, если вы укажете некоторые из оставшихся базисных векторов, например $\vert{\uparrow 0}\rangle$ . Я рекомендую писать состояние следующим образом.

| я ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑ 0 ⟩_{А} | ↓ 0 ⟩_{Б} + | ↓ 0 ⟩_{А} | ↑ 0 ⟩_{Б})

$\vert{i}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vert{\uparrow 0}\rangle_A\vert{\downarrow 0}\rangle_B+\vert{\downarrow 0}\rangle_A\vert{\uparrow 0}\rangle_B)$

Обратите внимание, что он находится в гильбертовом пространстве, которое является прямым произведением двух (или более) гильбертовых пространств, т.е.

ЧАС "=" {ЧАС}_{А} \otimes {ЧАС}_{Б}

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$

Тогда вы должны понимать оператор вращения как

р (θ, ф) \equiv р_{А} (θ, ф) \otimes 1_{Б}

$R(\theta,\phi)\equiv R_A(\theta,\phi)\otimes \mathbb{1}_B$ где

1_{B}

$\mathbb{1}_B$ является тождественным оператором, так что

R (θ, ϕ)

$R(\theta,\phi)$ действует только на

H_{A}

$\mathcal{H}_A$ .

Следовательно :

р (θ, ф) | я ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (р_{А} (θ, ф) | ↑ 0 ⟩_{А} | ↓ 0 ⟩_{Б} + р_{А} (θ, ф) | ↓ 0 ⟩_{А} | ↑ 0 ⟩_{Б}) "=" | ф ⟩

$R(\theta,\phi)\vert{i}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(R_A(\theta,\phi)\vert{\uparrow 0}\rangle_A\vert{\downarrow 0}\rangle_B+R_A(\theta,\phi)\vert{\downarrow 0}\rangle_A\vert{\uparrow 0}\rangle_B)=\vert{f}\rangle$

Тогда непосредственным вычислением следует проверить, что

р_{А} (π, 0) | ↑ 0 ⟩_{А} "=" | ↑ 0 ⟩_{А}

$R_A(\pi,0)\vert{\uparrow 0}\rangle_A=\vert{\uparrow 0}\rangle_A$

р_{А} (π, 0) | ↓ 0 ⟩_{А} "=" - я | ↑ 1 ⟩_{А}

$R_A(\pi,0)\vert{\downarrow 0}\rangle_A=-i\vert{\uparrow 1}\rangle_A$

Для второй строки я проверил, и она держится, но вы должны проверить первую строку.

РЕДАКТИРОВАТЬ: после прочтения комментария и более глубокого изучения проблемы я понял, что здесь есть немного больше.

1) Обратите внимание, что $\mathcal{H}_{A}=\mathcal{H}_{s=1/2}\otimes \mathcal{H}_{\text{Fock Space}}$ и то же самое для $\mathcal{H}_B$ . Матричное представление этих операторов представляет собой бесконечномерные матрицы в базисе $\big\lbrace \vert \uparrow \rangle,\vert \downarrow \rangle \big \rbrace \otimes \big\lbrace \vert 0 \rangle,\vert 1 \rangle,\ldots \big \rbrace$ .

2) Оператор $R_A(\pi,0)$ вращает базисные векторы.

р_{А} (π, 0) | ↓ 0 ⟩_{А} "=" - я | ↑ 1 ⟩_{А}

$R_A(\pi,0)\vert{\downarrow 0}\rangle_A=-i\vert{\uparrow 1}\rangle_A$

р_{А} (π, 0) | ↑ 1 ⟩_{А} "=" - я | ↓ 0 ⟩_{А}

$R_A(\pi,0)\vert{\uparrow 1}\rangle_A=-i\vert{\downarrow 0}\rangle_A$

Но обратите внимание, что он не касается базисного вектора $\vert \uparrow 0 \rangle$ ! Чтобы увидеть это, рассмотрим (конечномерное) подпространство $\mathcal{H}_A$ натянутые на базисные векторы:

{| ↑ ⟩, | ↓ ⟩} \otimes {| 0 ⟩, | 1 ⟩} "=" {| ↑ 0 ⟩, | ↑ 1 ⟩, | ↓ 0 ⟩, | ↓ 1 ⟩} .

$\big\lbrace \vert \uparrow \rangle,\vert \downarrow \rangle \big \rbrace \otimes \big\lbrace \vert 0 \rangle,\vert 1 \rangle \big \rbrace=\big\lbrace \vert \uparrow 0 \rangle,\vert \uparrow 1 \rangle, \vert \downarrow 0 \rangle,\vert \downarrow 1 \rangle \big \rbrace.$ Матричное представление

R_{A} (π, 0)

$R_A(\pi,0)$ в этом подпространстве:

р_{А} (π, 0) "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - я & 0 \\ 0 & - я & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

$\begin{equation} R_A(\pi,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . \end{equation}$ А базисные векторы можно взять в виде

| ↑ 0 ⟩ "=" (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ↑ 1 ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ 0 ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ 1 ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

$\vert \uparrow 0\rangle=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \uparrow 1\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \downarrow 0\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \downarrow 1\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.$

Так что все свойства сохраняются. Я надеюсь, что это также проясняет вопрос в комментарии! С:

Большое спасибо! Это уже делает общую процедуру намного яснее. Я попытался найти векторное выражение для $|\uparrow 0 \rangle_A$ путем решения $R_A(\pi,0)|\uparrow 0 \rangle_A=|\uparrow 0 \rangle_A$ . Однако единственным решением является тривиальное решение. На самом деле меня смущает, почему авторы указали только $(10)=|↑⟩|1⟩$ , $(01)=|↓⟩|0⟩$ хотя мы имеем дело с тензорными состояниями, и, таким образом, полный базис был бы $(10) \otimes(10)$ , $(10) \otimes(01)$ , $(01) \otimes(10)$ , $(01) \otimes(01)$ . Но тогда как ротация $R_A(\pi,0)$ определены на основе этих векторов?
Я отредактировал свой ответ, потому что не смог ответить на ваш вопрос в комментариях! Ваше здоровье! Надеюсь, поможет!!
Большое спасибо за подробный ответ!! :)

Применение поворота к запутанному состоянию

донкарлос31415

Ответы (1)

вин92

донкарлос31415

вин92

донкарлос31415

Квантовая телепортация атомных состояний, связанных с энергией [дубликат]

В чем причина квантовой запутанности? [дубликат]

Как слабое измерение влияет на квантовое состояние?

Почему мы хотим запутать кубиты?

Квантовые вычисления, создание/запутывание кубитов

Моделирование эволюции состояний многих бозонов

Что такое квантовый диссонанс?

Измерение двух компонентов одновременно с помощью Entanglement

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Типы запутанности, не связанные с принципами сохранения