По сути, это мера квантовости некоторых корреляций, которая не обращается в нуль для некоторого сепарабельного состояния. Его представили Оливье и Зурек ( PRL / arXiv ). Это разница между двумя разными обобщениями классической (Шеннонской) условной энтропии на квантовый мир, и она равна 0 для чистого двудольного сепарабельного состояния. Было доказано, что это количество запутанности, необходимое для задачи слияния состояний ( PRA / arXiv и PRA / arXiv ).

Определение

( PRL / arXiv ) Классически условная энтропия$H(A|B)$является мерой неопределенности, имеющейся у переменной$A$когда мы знаем переменную$B$. Конечно, определение «знать»$B$становится проблематичным, когда$B$является квантовым.

1. Классически можно определить$H(A|B)$в среднем$H(A|B)=\sum_b {\mathcal P}(B=b)H(A|B=b)$, каждый$H(A|B=b)$будучи энтропией$A$учитывая, что случайная величина имеет значение$b$. Если обобщить это на квантовый мир,$B=b$часть подразумевает квантовое измерение (POVM), которое должно быть указано. Естественным выбором является «наилучшее» измерение, которое минимизирует энтропию. Шеннон$H$энтропия заменяется энтропией фон Неймана, и мы определяем$S(A|B_c)=\min_{\text{POVM}} \sum_{b}\mathcal{P}(\text{POVM applied to B gives } b) S(A|\text{POVM applied to B gives }b)$.

2. Предыдущее определение классически приводит к переопределению условной энтропии как разности энтропий:$H(A|B)=H(A,B)-H(B)$, который всегда положителен. Его квантовая версия,$S(A|B)=S(AB)-S(B)$может быть отрицательным (в отличие от$S(A|B_c)$). Его отрицательность является достаточным условием запутанности.

Разногласие определяется как$S(A|B_v)-S(A|B)$и всегда положительный. Возможно, вы можете увидеть это как количество корреляции между$A$и$B$который разрушается классическим измерением$B$.

Связь со слиянием состояний

( ПРА / arXiv и ПРА / arXiv )

Примитив слияния состояний следующий. Предположим, что Алиса, Боб и Чарли находятся в трехстороннем чисто запутанном состоянии. Алиса хочет послать свою часть Бобу, не нарушая квантовых корреляций между$AB$и$C$. По сути, она должна телепортироваться.$A$для Боба, а минимальное количество запутанности, необходимое Алисе и Бобу для выполнения этой задачи, определяется квантовым разногласием.

Один из способов выразить это состоит в том, что квантовый диссонанс количественно определяет «корреляции», которые не могут быть непосредственно реализованы в корреляциях между результатами измерений. Наличие разногласий в данном двухчастном квантовом состоянии сигнализирует о том, что две стороны более «связаны вместе», чем то, что можно было бы наблюдать через корреляции в результатах любого выбора локальных измерений. Другая точка зрения состоит в том, что квантовый диссонанс связан с ситуациями, в которых измерение одной части системы обязательно вызывает возмущение другой стороны.

Учитывая двудольное состояние, можно спросить о максимальном количестве корреляций, наблюдаемых в результатах локальных измерений. Назовем это доступной информацией , которую можно таким образом определить как

$$J(\rho) \equiv \max_{\Pi^A} J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i), \qquad J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)\equiv S(\operatorname{Tr}_A(\rho)) - S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i),\\ S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i) \equiv \sum_i p_i S(\rho(B|A=i)).$$ Это выглядит противно, так что давайте распакуем:

1. $J(\rho)$доступная информация, рассчитанная по измерениям$A$. Можно также рассмотреть аналогичное определение, когда$B$вместо этого измеряется и потенциально может получить разные числа. Это означает, что нужно быть осторожным с направлением, в котором определяются разногласия/доступная информация.
2. С$J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)$Я имею в виду доступную информацию относительно выбора измерения на$A$. Здесь,$\{\Pi_i^A\}_i$является проективным измерением на$A$. Доступная информация получается при выборе измерения$\{\Pi^A_i\}_i$что максимизирует$J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)$.
3. Как только мы исправим выбор измерения$\{\Pi^A_i\}$, воспользуемся определением взаимной информации, вытекающим из классической формулы$I(X:Y)=H(A)-H(A|B)$. Условная классическая энтропия$H(A|B)$становится условной энтропией$S(\rho;B|\{\Pi_i^A\})$, что равно средней ( фон Неймановской ) энтропии на$B$, обусловленный каждым результатом измерения$\rho$на$A$.
4. Более явно, условная энтропия читается $$S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i) \equiv \sum_i p_i S(\rho(B|A=i)),$$ где $$p_i \equiv \operatorname{Tr}[(\Pi^A_i\otimes I_B)\rho], \qquad \rho(B|A=i) \equiv\frac{1}{p_i} \operatorname{Tr}_A[(\Pi^A_i\otimes I_B)\rho].$$ В словах,$p_i$это вероятность$A$получение результата$i$(опять же, при использовании измерения$\{\Pi_i^A\}$, пока$\rho(B|A=i)$остаточное состояние на$B$получено, когда$A$получает результат$i$(и рассказывает$B$об этом).

Квантовый диссонанс $\delta$является частью квантовой взаимной информации $I(\rho)\equiv S(\rho_A)+S(\rho_B)-S(\rho)$, что не реализуется как доступная взаимная информация, т.е.

$$I(\rho) = J(\rho) + \delta(\rho).$$ Опять же, нужно быть осторожным с тем, какая система измеряется, поэтому следует дать более точное определение, указав эту информацию.

Хорошая характеристика

Двустороннее государство$\rho$имеет нулевой диссонанс относительно измерений на$A$ тогда и только тогда, когда это классически-квантовое состояние, т . е . оно допускает разложение вида

$$\rho = \sum_i p_i \, |i\rangle\!\langle i|\otimes \rho_i,$$ для некоторого ортонормированного базиса$\{|i\rangle\}$и ансамбль государств$\rho_i$.

Несколько примеров

Для произвольного чистого состояния$\rho$, надо$I(\rho)=2J(\rho)$. В частности, диссонанс симметричен и равен доступной информации. Например, максимально запутанное двухкубитное состояние имеет$I(\rho)=2$и$J(\rho)=\delta(\rho)=1$.

Рассмотрим двухкубитное состояние

$$\rho = \frac12 ( \mathbb{P}_0\otimes \mathbb{P}_0 + \mathbb{P}_1\otimes \mathbb{P}_+), \qquad \mathbb{P}_v\equiv |v\rangle\!\langle v|.$$ Это классически-квантовый по измерениям на$A$, таким образом, имеет нулевое разногласие слева направо. Но он также имеет ненулевой диссонанс относительно измерений на$B$. Обратите внимание, что это также отделимое состояние, демонстрирующее, что разлад является формой неклассичности, отличной от запутанности.

В качестве примера двухкубитного сепарабельного дискордантного состояния, не являющегося классически-квантовым, можно рассмотреть стандартный пример, приведенный в оригинальной статье Оливье и Зурека: состояние Вернера вида

$$\rho_z = \frac{1-z}{4}I +z |\Phi^+\rangle\!\langle\Phi^+| =\frac14\begin{pmatrix}1+z & 0&0& 2z \\ 0& 1-z & 0 & 0 \\ 0&0&1-z&0 \\ 2z & 0 & 0 & 1+z\end{pmatrix}, \\ |\Phi^+\rangle\equiv\frac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle),$$ который отделим для$z\le 1/3$но имеет ненулевую дискордность в обоих направлениях.