пример, когда изменение системы отсчета наблюдателя меняет исход событий!

Ты прав; в рамке, движущейся с зарядами, магнитного притяжения не будет. Однако будет электростатическое отталкивание, поэтому вы увидите, как две частицы удаляются друг от друга.

Рассмотрим другой кадр (кадр покоя), где обе частицы движутся бок о бок в направлении x (я предполагаю, что это то, что вы себе представляете). Частицы по-прежнему отталкиваются друг от друга электростатически, но теперь они притягиваются еще и магнитно!

Это может показаться проблемой, но это не так, потому что, хотя сила, измеренная в системе покоя, слабее, поскольку электростатическое отталкивание частично компенсируется магнитным притяжением, время, которое испытывают движущиеся наблюдатели, также отличается из-за колдовства специальная теория относительности. Если рамка, движущаяся с зарядами, взведена, а оставшаяся рамка не взведена, то

$$\begin{align} t^\prime &= \gamma t \\ F &= q(E + v\times B) = q(E - vB) \\ F^\prime &= qE^\prime \end{align}$$

Мы хотим показать, что, поскольку сила обратно пропорциональна квадрату времени, F и F' связаны коэффициентом$\gamma^2$в этом случае наблюдатели в любой системе отсчета будут вычислять совпадающие траектории, используя уравнения Максвелла.

Так как за точечный заряд

$$E = \frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{r^2}$$

$$B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{qv\times\hat{r}}{r^2} = \frac{\mu}{4\pi}\frac{qv}{r^2}$$

Теперь у нас есть все, что нам нужно. Подключите B к F и используйте$\mu = 1/(c^2\epsilon)$и$\gamma = 1/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

$$F = q(E - vB) = q\left(E - \frac{v^2}{c^2}\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{r^2}\right) = q\gamma^2E$$

$$F^\prime = qE^\prime = qE = \frac{1}{\gamma^2}F$$

Это то, чего мы хотели все время, так как

$$F = \frac{\mathrm d^2y^\prime}{{\mathrm dt^\prime}^2} = \frac{\mathrm d^2y}{(\gamma ~\mathrm dt)^2} = \frac{1}{\gamma^2}F$$

(отмечая, что на dy не влияет усиление в направлении x)

Чтобы решить более сложные задачи такого рода, вы обычно хотите поговорить о тензорах Фарадея, 4-токах и нотации Эйнштейна, но я надеюсь, что этот простой пример дал вам некоторое представление о том, как связаны электромагнетизм и специальная теория относительности. Вы, возможно, задавались вопросом, что если частицы движутся так быстро, что магнитная сила превышает электростатическое отталкивание, но на самом деле вы можете видеть, что для этого вы должны превысить скорость света!

Если вы хотите понять, почему электромагнетизм явно устойчив к парадоксам теории относительности, вы захотите узнать о тензорном анализе в четырехмерном пространстве-времени, который является обязательным знанием для любого достойного физика и может быть найден в конце большинства механик или учебники по электродинамике или в начале большинства книг по общей теории относительности. Если вы хотите получить некоторое физическое представление о том, как работает ЭМ, я рекомендую упрощенный метод Перселла.

http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html

В лекциях Фейнамна он довольно прямо показывает на примере заряда, движущегося параллельно проводу, что полное электромагнитное описание инвариантно по отношению к инерциальной системе отсчета, т. е. электричество и магнетизм, взятые вместе, согласуются с эйнштейновской относительность.

Поэтому в таких случаях, как ваш пример, вы должны всегда помнить, как смесь электрических$\mathbf{E}$и магнитный$\mathbf{B}$полей меняется от одного наблюдателя к другому. Несколько цитат из его книги:

Получается, что подойдет любая инерциальная система отсчета. Мы также увидим, что магнетизм и электричество не являются независимыми вещами — что их всегда следует рассматривать вместе как одно законченное электромагнитное поле. Хотя в статическом случае уравнения Максвелла распадаются на две различные пары, одну пару для электричества и одну пару для магнетизма, без видимой связи между двумя полями, тем не менее в самой природе между ними существует очень тесная связь, которая вытекает из принципа относительности. Исторически принцип относительности был открыт после уравнений Максвелла. Фактически именно изучение электричества и магнетизма привело Эйнштейна к открытию его принципа относительности.

Один пример использования релятивистских факторов, использующих законы электромагнетизма, до специальной теории относительности, можно найти здесь , если вам интересно.

Далее в его выводах вы увидите, что плотности заряда также зависят от системы отсчета, чтобы выполнялся закон сохранения полного заряда. Аккуратный!

Чтобы сократить до конечного результата:

Мы обнаружили, что получаем один и тот же физический результат независимо от того, анализируем ли мы движение частицы, движущейся по проводу, в системе координат, покоящейся относительно провода, или в системе, покоящейся относительно частицы. В первом случае сила была чисто «магнитной», во втором — чисто «электрической».

Я начал с примера Фейнмана, просто чтобы установить некоторый контекст, теперь вернемся к нашему случаю, без проволоки, как указал Любош в комментариях, в системе отсчета движущихся зарядов есть только кулоновское отталкивание между двумя протонами (или два электрона), тогда как в лабораторной системе отсчета (движущиеся заряды) кулоновское отталкивание связано с магнитной силой, притягивающей их. Следуя рассуждениям, представленным ранее, переход электрического и магнитного полей между двумя упомянутыми системами отсчета просто получается путем применения преобразований Лоренца к полям одной системы отсчета для получения другой. Здесь для нашей конкретной задачи мы можем просто работать с поперечными компонентами$\mathbf{E}$, обозначаемый как$E_t$.

В остальных кадрах зарядов$S$, имеем только электрическое поле, его поперечную составляющую обозначим$E_t$, преобразование Лоренца, дающее поперечное электрическое поле в$S'$является:

$$E'_t = \gamma(E_t-|\vec{v}\times \vec{B}|)$$

Обратите внимание на появление магнитного поля в выражении!

Теперь, определив поля в обеих системах отсчета, мы знаем, что заряды будут подвергаться действию ЭМ сил в каждой системе отсчета, поэтому, чтобы проверить физику, давайте выясним, каковы поперечные импульсы каждого заряда после действия ЭМ силы. на них определенное время. Мы ожидаем, что результаты будут одинаковыми в обоих кадрах.

Использование правильного релятивистского уравнения движения$\mathbf{F}=d\mathbf{p}/dt$, через промежуток времени$\Delta t$мы ожидаем, что изменение поперечного импульса будет$\Delta p_t=F\Delta t$в$S$, и$\Delta p'_t=F'\Delta t'$в$S'$. Получение одного и того же результата изменения поперечного импульса в обеих системах отсчета означает, что должно выполняться следующее соотношение:

$$\frac{\Delta p_t}{\Delta p'_t}=1=\frac{F \Delta t}{ F' \Delta t'}$$

Где для любого выбранного интервала времени$\Delta t$в$S$, соответствующий интервал времени в$S'$растянуто (замедление времени в движущихся кадрах):

$$\Delta t'=\gamma \Delta t$$

Теперь осталось найти выражение$F'$, ожидаемый результат должен компенсировать эффект замедления времени, чтобы импульс в поперечном направлении сохранялся. Мы знаем, что в$S'$каждый заряд также подвержен магнитному полю, и его действие должно уменьшать кулоновское отталкивание. Зная$E'_t$(из ранее), у нас есть полная ЭМ сила на каждом заряде в$S'$дан кем-то:

$$\begin{align} F'=\gamma q (E_t - vB)&=\gamma q \left(E_t-v\left(v\frac{E_t}{c^2}\right)\right) \\ F'&=\gamma q E_t\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) \end{align}$$

Замена$\Delta t'$и$F'_t$по вышеприведенным выражениям получаем:

$$\frac{F \Delta t}{ F' \Delta t'}=\frac{F \Delta t}{\gamma^2 (1-\frac{v^2}{c^2}) F \Delta t}=1$$ Что действительно равно 1, так как $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}.$

Следовательно, один и тот же физический результат получается из любой системы отсчета,$S$и$S'$, не парадокс! В заключение снова цитата из Фейнмана:

Полное электромагнитное описание инвариантно; вместе взятые электричество и магнетизм согласуются с теорией относительности Эйнштейна.

Дополнительная полезная литература: лекции Фейнмана, том II, главы 13–6.

Преобразование Лоренца полей

Преобразование Лоренца для ЭМ из Википедии.